克魯爾維數

克魯爾維數(Krull dimension)是決定環結構的一個參數，對賦值環的研究有重要意義。設p是R的素理想，R中終止於p的素理想真升鏈p₀⊂p₁⊂…⊂p_n=p的長度n的最大值稱為素理想p的高，記為h(p)，R的理想a的高是包含在a中的所有素理想真升鏈的最大長度，環的克魯爾維數是指R中素理想真升鏈長度的最大值，記為dim R。它是一個非負整數或∞。例如，域的維數為零，整數環的維數為1，一般地，環R為阿廷環若且唯若R為諾特環且dim R=0。

基本介紹

• 中文名：克魯爾維數
• 外文名：Krull dimension
• 所屬學科：數學
• 相關概念：素理想、理想的高、諾特環等

基本介紹

克魯爾維數(Krull dimension)是決定環結構的一個參數，對賦值環的研究有重要意義。設p是R的素理想，R中終止於p的素理想真升鏈的長度n的最大值稱為素理想p的高，記為，R的理想a的高是包含在a中的所有素理想真升鏈的最大長度，環的克魯爾維數是指R中素理想真升鏈長度的最大值，記為。它是一個非負整數或。例如，域的維數為零，整數環的維數為1，一般地，環R為阿廷環若且唯若R為諾特環且。

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在代數幾何史上，維數的定義經歷了三個階段：最早是按流形的定義，即局部解析同構於n 維單位球的流形為n 維；到上個世紀末，德國學派將代數集的維數定義為函式域(在常數域上) 的超越次數；而本世紀40 年代至今採用克魯爾維數，即函式環中素理想列的最大長度，每個新定義都和原來的一致，但適用範圍更廣。

定義設P是環R的素理想，則素理想列的長度的上界稱為P的高度，記為。對任一理想稱為的高度。R中素理想列的長度的上界稱為R的克魯爾維數(簡稱維數)，記為。顯然且對任一理想有

對任意有。

例: 阿廷環就是0 維諾特環；戴德金環就是1維整閉諾特整環。

如果R是戴得金環，則這是因為每個非零素理想都是極大理想。如果R是整環，則若且唯若R是域，下一命題刻畫了克魯爾維數為0的諾特環。

命題如果R是諾特環，則若且唯若每個有限生成R-模M都有合成列。