合成列

合成列(composition series)一種特殊類型的子群列。

在抽象代數中，合成列是借著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成分，以萃取不變數的方式之一。

基本介紹

• 中文名：合成列
• 外文名：composition series
• 定義：將代數對象拆解為簡單的成分
• 套用學科：數學
• 相關術語：若爾當-赫爾德定理
• 套用：給出有限群或阿廷模的不變數

定義介紹

在抽象代數中。合成列是借著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成分，以萃取不變數的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 ，使每個子商 皆為單模；這些單模稱為合成因子，n 稱為合成長度，都是M的不變數。亦可考慮M的子模範疇 ，此時 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若爾當-赫爾德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變數。

群的情形

設G為群，G 的合成列是對應於一族子群

滿足 ，使其子商 皆為非平凡的單群；易言之， 是 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。

模的情形

固定環R及R-模M。M的合成列是一族子模

其中每個子商 皆為非平凡的單模。易言之， 是 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若R 是阿廷環，根據Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的R-模皆有合成列。

例子

例子 考慮 12 階循環群 ，它具有三個相異的合成列

合成因子分別為

其間僅差個置換。

相關定理

若爾當-赫爾德定理

定理. 若群〔或R-模 M〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

對 行數學歸納法。若 則 M=0，若 則 M 是單模。以下假定 。

若 ，據歸納法假設， 且 與（）之間僅差置換。此外 ，故定理成立。

設。此時必有。置 ，於是

取N的合成列，依上式知

皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項M，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。