局部環

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換含麼環。

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為Stellenringe，英譯 local ring 源自扎里斯基。

基本介紹

• 中文名：局部環
• 外文名：Stellenringe
• 領域：數學

定義

設為交換含麼環。若僅有一個極大理想，則稱（或）為局部環。域稱為的剩餘域。

若中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環上帶有一個自然的-進拓撲，使得成為拓撲環；其開集由生成。當 為諾特環時，可證明為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設為局部環，環同態被稱為局部同態，若且唯若。

例子

域是局部環。

形式冪級數環是局部環，其中是個域。極大理想是。

取係數在或上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。

凡賦值環皆為局部環。

設為任意交換環，為素理想，則相應的局部化是局部環；這也是局部環套用的主要場合。若已是局部環，則。

局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋

局部環意在描述一個點附近的函式“芽”。設為拓撲空間，或，且。考慮所有資料，其中是的一個開鄰域，而是連續函式。引入等價關係：

且是的開鄰域。

換言之，若兩個函式在附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環，其元素稱作在的連續函式芽，它體現了連續函式在附近的行為。若滿足，則存在一個的開鄰域及連續函式，使得且恆非零，因此可定義乘法逆元。於是是局部環，其唯一的極大理想是所有在點取零的函式，剩餘域則是。

類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。

在代數幾何與復幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。

在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形

一個含么環被稱作局部環，若且唯若它滿足下述等價條件：

R 僅有一個極大左理想。

R 僅有一個極大右理想。

，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。

，且對任何元素或必有一者可逆。

，若中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：

• R 的唯一極大左理想。
  
• R 的唯一極大右理想。
  
• R 的Jacobson根。
  

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。