擬弗羅貝尼烏斯環簡稱QF環，是具有對偶性質的重要環類。若麼環R作為左（右）R模是內射R模，則稱R為左（右）自內射環（self-injective ring）。若麼環R為左諾特左自內射環，等價地，R既是左右阿廷的又是左右自內射的，則稱其為擬弗羅貝尼烏斯環。
基本介紹
- 中文名：擬弗羅貝尼烏斯環
- 外文名：quasi-Frobenius ring
- 適用範圍：數理科學
簡介,性質,發展,
簡介
擬弗羅貝尼烏斯環簡稱QF環，是具有對偶性質的重要環類。
若麼環R作為左（右）R模是內射R模，則稱R為左（右）自內射環（self-injective ring）。
若麼環R為左諾特左自內射環，等價地，R既是左右阿廷的又是左右自內射的，則稱其為擬弗羅貝尼烏斯環。
若擬弗羅貝尼烏斯環R作為左（或右）R模都有
，則稱其為弗羅貝尼烏斯環（Frobenius ring ）。
費絲-沃克定理[Faith-Walker theorem]：麼環R為擬弗羅貝尼烏斯環若且唯若每個投射左R模都是內射的，若且唯若每個內射左R模都是投射的。
性質
QF環的一個重要同調性質是：R是QF環若且唯若任意IZ投射模是內射的，且任意內射R模是投射的。
若有限維麼K代數A滿足：A與
作為左A模同構，則稱A為弗羅貝尼烏斯代數（Frobenius algebra）。若K為域，G為有限群，則群代數KG為弗羅貝尼烏斯代數。有限維K代數A是弗羅貝尼烏斯代數若且唯若存線上性映射
使得Ker𝑓不包含非零的左或右理想時成立。
若有限維麼K代數A滿足：A與
的不可分解直和項在不記同構和項數的意義下對應相同，則稱A為擬弗羅貝尼烏斯代數（quasi-Frobenius algebra）。設A是有限維K代數。則A是（擬）弗羅貝尼烏斯代數若且唯若A是（擬）弗羅貝尼烏斯環時成立。
發展
擬弗羅貝尼烏斯環是中山正(Nakayama , T.)於1939年引入的，它是左右對稱的且是左和右阿廷的。
阿爾門翠尼(Ar-mendriaz , E. P.)於1980年把諾特條件減弱為本質左(或右)理想滿足降鏈條件。
胡恩(Huynh , D.)和韋斯寶爾(Wisbauer,R.)於1989年進一步把上述降鏈條件減弱為升鏈條件。
