基本介紹
- 中文名:自內射環
- 外文名:self-injective ring
- 所屬學科:環與代數(環論)
- 定義:正則模是內射模的環
定義,相關定理,零化子-自內射環的基本性質,
定義
相關定理
定理1擬Frobenius代數是自內射環。
定理2假定環R有單位元,並且是自內射環,那么
(1) 

(2)
這裡
是R的左理想子環。


定理3假定環R是(左) 自內射模,那么R的補左理想子環是左零化子。
證明:假定C是R的補左理想子環,那么有R的左理想子環L使
。設
是
到
的
模同態,
。因為R 是自內射模,所以
因此
。如果
那么
。因此存在
使
這顯然是矛盾。證畢。












定理4 假定R 是有單位元的半質環如果它又是自內射模,那么R的極大左零化子是極大左理想子環,並且是由R的一個冪等元生成的。
定理5 設
那么,
是自內射環若且唯若R是自內射環。


定理6
上任一
正則矩陣均有
左逆的充要條件是R為自內射環。



定理7R為*-環若且唯若R是自內射環。
定理8 對任意的
弱可逆的線性自動機必有線性
弱逆。


定理9
可逆的線性自動機必有線性
逆的充要條件是 R 為自內射環。


定理10 給定
那么,任一
可逆的線性自動機總存在
使得它有線性
逆的充要條件是R為自內射環。




推論1(i)若R是自內射環,則任意
(弱)可逆的線性自動機都有線性
(弱)逆;


(ii) 若R不是自內射環,則對
總存在
可逆的線性自動機不具有線性
弱逆。



零化子-自內射環的基本性質
定義1 稱環R是左零化子-自內射環(記為左ann-自內射環),如果對環R中任一右理想I,從其左零化子
到R的左R-同態都能表示為環R的一個元素右乘。類似地,可定義右ann-自內射環。若R既是右ann-自內射環,又是左ann-自內射環,則稱R是ann-自內射環。

注 1 任意的左自內射環都是左ann-自內射環,反之,在一般情況下是不成立的。例如,任意整環為雙邊ann-自內射環,但不是自內射環。事實上,2Z是所有偶數的集合,它是一理想,定義
顯然
是Z-同態,但它不是右乘,故不是自內射環。


如果RR是內射餘生成子,則R為左PF-環,我們自然會想到當條件削弱為左ann-自內射環且是餘生成子時,R還是不是左PF-環。
命題 1 對任意環R,下列條件等價:
(1)環R是左PF環;
(2)環R是左ann-自內射餘生成子;
(3)環R是左ann-自內射環左D-環;
(4)環R是左自內射環左D- 環。
定理1對任意環R,下列條件等價:
(1) R是左ann-自內射環;
(2)
其中
是任給右理想;


(3) 任給右理想
賦值映射
是一滿射;


(4) 自然同態
(
定義為
)是滿射, 其中
是任給右理想;




(5) 任給右理想
是自反模。

命題2 設環R是左ann-自內射右完全reduced 環,則R是右極小自內射環。
推論 設環R是左ann-自內射右完全reduced環,則RR是有限餘生成的。
命題3 設環R是ann-自內射環,則任給的右理
和
都是自反模。


命題 4 設環R是ann-自內射環,則主左理想和主右理想都是自反模。
命題5 R是左ann-自內射環
直積R是左ann-自內射環。

引理1 設R是左ann-自內射,則R是左D環
任給的有限生成左R模是無撓模。

定理2 設環R是ann- 自內射左、右Noether環,則 R 是D 環
環 R 是 QF 環。

命題6 設 R 是交換環,且R 是ann-自內射環,A和B 是環R 的理想,r(A)與r(B)都是R的零化子,如果
且
那么
。



推論 如果R是交換環,且是ann-自內射環,L是R的理想,下列條件等價:
(1)
是投射理想;

(2) 

(3)
是ann-內射模。
