內射模

內射模（injective module），在模論中，是具有與有理數Q（視為Z-模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。

基本介紹

• 中文名：內射模
• 外文名：injective module
• 引進時間：1940年
• 含義：投射模的對偶概念

定義

定義一：一個環 上的左模 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

(1) 若 是左 -模 的子模，則 存在另一個子模 使得 。

(2) 若 是單的左 -模映射， 是左 -模映射，則存在 -模映射 使得 。

(3) 任何短正合序列 都分裂。

(4) 函子 為正合函子。

定義二：設R是一個環，E是一個R模。如果對於R模的任意單同態g： ，以及同態 ，f可以擴充為同態 ，使得 ，那么稱E為內射模。

抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。

等價定義：E是內射模若且唯若以E開頭的短正合列 是可裂的。

性質

任意一個R模M都同構於內射模的子模，即有內射模E和單同態： 。

特別地，若 是一個內射模，則單同態 使得 是的直和項。

一個阿貝爾群Q稱為可除的，如果，方程在Q中有解。設R是一個環，Q是一個可除的阿貝爾群，那么是一個內射R模。

內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 R-模 Q 是內射模若且唯若定義在任一理想 I 上的態射 I→Q 都能延拓到整個 R 上。

最重要的內射模當屬 Q/Z：它是 Z-模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 Z-模皆可嵌入某個 (Q/Z)a次方 中，其中 a 是夠大的基數。由此可知任何 Z-模皆可嵌入某個內射 Z-模。此性質對任意環 R 上的左模都成立，要點在於利用 Q/Z 的特性構造左 R-模範疇中的內射上生成元。