凝聚環

凝聚環(coherent ring)是一種與理想的有限生成相關的環類。若環R的任意有限個有限生成左理想的交，以及有限生成左理想的左零化子均為有限生成的，則稱R為左凝聚環。

基本介紹

• 中文名：凝聚環
• 外文名：coherent ring
• 領域：數學
• 性質：環類
• 特點：與理想的有限生成相關
• 子類：左凝聚環

概念

凝聚環(coherent ring)是一種與理想的有限生成相關的環類。若環R的任意有限個有限生成左理想的交，以及有限生成左理想的左零化子均為有限生成的，則稱R為左凝聚環。從模的觀點來說，R是左凝聚環若且唯若R的每個有限生成左理想是有限表示的(作為左R模)，又若且唯若平坦右R模的每一個直積是平坦的。設X是基數為α的未定元集，若R[X]是左凝聚環，則稱R為左α穩定凝聚環。於是，對於基數α<β，若R是左β穩定凝聚環，則R也是左α穩定凝聚環。若對任意自然數n，R是左n穩定凝聚的，則對任意基數α，R也為左α穩定凝聚的。

環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

理想

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

模

模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A。若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或麼模。

有限生成

模論的基本概念之一。指可以表示出A模M中任一個元的M的一組元素。考慮環A模M時，A的元稱為純量，A稱為M的係數環或基環，運算A×M→M稱為純量乘法，ax稱為x的純量倍，它的全體記為Ax。對M的一簇元素{x_λ}_λ∈I，形式為：

(僅有限項非零)

的元的全體N是包含全部x_λ(λ∈I)的M的最小子模，它等於和：

稱N由{x_λ}_λ∈I所生成，而{x_λ}_λ∈I稱為N的生成系。若I是可數集，且M由{x_λ}_λ∈I生成，則稱M為可數生成模。當I是有限集，且M=Ax₁+Ax₂+…+Ax_n，稱M為有限生成模，此時任x∈M有表示式：

x=r₁x₁+r₂x₂+…+r_nx_n，　r₁，r₂，…，r_n∈A.

模M是有限生成若且唯若對M的每一個子模集{A_i|i∈I}，若有：

則存在有限子集I₀I，使得：