忠實模

忠實模(faithful module)是一類重要的模，若M是左A模，把所有與M的乘積為0的A的元的集合記為K，即K={a∈A|aM=0}，則K是A的理想，稱為M在A中的零化子。若K=0，即不存在A的非零元素a，使得aM=0成立，則稱M是忠實A模。無撓模一定為忠實模，但反過來不真，對任一個A模M，總可以得到一個忠實模，若M在A中的零化子為I，則M可成為A/I模，此時A/I模M就是忠實模，並且A^M與A/I^M有相同的子模格。

基本介紹

• 中文名：忠實模
• 外文名：faithful module
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：模與同調代數(模論)

基本介紹

定義

假定 是模，如果 時，即R中任意非零的元不能零化，那么叫做忠實模。顯然

是R的理想，並且 ，如果 ，那么就是忠實模。

假定模是既約模，如果R是單環，那么是忠實模，這是因為是R的理想，如果 ，那么 ，這與M是既約的假設不合，因此 。

定理

假定是模，那么 是模，並且是忠實模。

證明： 因為，所以，因此是模，再假如，即，那么，所以，於是是忠實模。證畢。

相關概念

即約模

假如N是模M的子加群，同時又是模，那么N叫做V的子模。的子模是R的左理想，的子模是R的右理想。同群一樣，模也有商模或差模。只由一個零元組成的模叫做零模，用0表示。任意模M都有0及M自身這兩個子模。只有這兩個平凡子模的模，叫做單模。假如模M是單模，如果，那么M叫做既約模，環R的左理想如果又是既約模，叫做R的既約左理想。環R有單位元時它的極小左理想是既約模，因此是R的既約左理想，再假如M是既約模，因為，所以M=RM。又如果，那么，這是因為如果，設={整數或0}，那么。於是N是M的子模，今，所以N=M，因此RM=0。這與M是既約的假設不合。

定理 假定R是環，那么是既約模的必要充分條件是R是體。

余忠實模

余忠實模(co-faithful module)是一種特殊的模，是忠實模的對偶概念。設M是A模，若它生成每一個內射A模，則稱M是余忠實模。一個模M是忠實的充分必要條件是，M餘生成每一個投射模；而模_AM是余忠實的充分必要條件是，M有限餘生成正則模_AA。每一個余忠實的擬內射模一定是內射模。

忠實模類

對每個環A，給定非平凡右A模的一個類，定義的核為中全體A模的零化子的交集

它是環A的一個理想，若為空類，則規定；若，則稱為忠實的。設模類

稱M為一般模類，若M滿足條件：

1.蘊涵，其中B是A的理想。

2.，A的理想蘊涵。

3.若忠實，則對A的每個非零理想B，非空。

4.若對環A的每個非零理想B，非空，則忠實。

一般模類M確定一個根性質，只要規定環A的根為模類的核，給定一個根性質R，也可構造一個一般模類M，使得對任意環A，均有，稱這樣的一般模類M為根性質R的模表示或模刻畫。

本原環

本原環(primitive ring)是一類重要的環，是研究雅各布森根時引入的，其後被廣泛討論與套用，若環R有一個忠實右(左)R單模(即忠實既約右(左)R模)，則稱R為右(左)本原環。通常將右本原環簡稱本原環。一般說來，左本原環未必是本原環，但當R有極小單側理想時，左本原性與本原性一致。任何本原環皆為素環。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原環來代替有限條件下的單環，從而得出在沒有有限條件限制下的一般半單環的結構定理，這是環論的重大發展。