商模

商模(quotient module)是模論的重要概念之一，模M與它的商模M-之間的性質有著密切的聯繫。它是將A模M的元素進行陪集分類後所得到的新模，亦稱“差模”。設是上左模的一個子模，則商群M/N中可定義R中元素的作用：a(x+N)=ax+N，其中a∈R，x∈M，x+N∈M/N，則M/N成為一個模，稱為M關於N的商模，同樣可定義右模的商模。

基本介紹

• 中文名：商模
• 外文名：quotient module
• 所屬領域：模論的重要概念之一
• 別名：差模

定義

設M是一個R-模，N是M的一個R-子模，則N是加法群M的子群，於是有商群M/N，它的元素是N在M內的陪集 ，因為N為R-子模，我們可以把M/N作成R-模，在商群內有加法：

對於 ，我們規定

因為當 時， ．而N是R-子模，所以 ，這就說明 。

在商群M/N上按上面方法定義的R-模稱為模M關於子模N的商模，仍使用符號M/N表示這個商模。

相關性質

定理1 設B是R-模，D是B的子模，另有 也是B的子模，且滿足 ，則商模B/D與 之間滿足 。反之，若已知M是B/D的子模,則一定存在B的子模 ，滿足 且有 。

相關概念

定義1

令A，B是R的兩邊理想，置

即AB是由所有的乘積ab(a∈A，b∈B)生成的加群，易見AB是一個理想，叫作理想A與B之積。

註：

定義2

令C是R的兩邊理想，則：

(1)說C是R的強素理想： 。

(2)說C是R的素理想： 。

(3)r稱為左零因子： 。

類似地，可定義右零因子。

(4)說R中沒有零因子： 中不存在左右零因子。

(5)令r∈R， 叫作右逆或左逆，或者叫r的逆元素： ,或者 ，或者。

註：

(1)如果存在右零因子，則一定存在左零因子，反之亦然。

(2)如果 分別是r的左、右逆元：則 。

由定義1易知：

引理1

(1)C是強素理想 C是R的素理想。

(2)如果R是交換的，則(1)之逆也成立。

定理2

令C是R的兩邊理想，則下述命題成立：

(1)C是R的強素理想 R/C沒有零因子。

(2)C是R的素理想 零理想是R/C的素理想。

(3)C是R的兩邊理想 R/C是單的。

(4)C是R的極大右理想 R/C是體。