逆元素

逆元素是指一個可以取消另一給定元素運算的元素，在數學裡，逆元素廣義化了加法中的加法逆元和乘法中的倒數。

基本介紹

• 中文名：逆元素
• 外文名：Inverse element
• 學科：數學
• 作用：取消另一給定元素運算的元素
• 集合：二元運算

基本概念

一個存在單位元素e的代數系統，如果對S內的元素a存在，使得，則稱為a對運算“”的左逆元素，亦稱左逆元。

一個存在單位元素e的代數系統，如果對S內的元素a存在，使得，則稱為a對運算“”的右逆元素，亦稱右逆元。

這裡的左逆元和右逆元是針對給定運算的某個元素而言的。我們說某個元素有沒有逆元素，而不能說某個代數系統有沒有逆元素。另外還需要說明：

(1)一個元素可以沒有左逆元和右逆元；

(2)一個元素可以只有左逆元；

(3)一個元素可以只有右逆元；

(4)一個元素可以既有左逆元，又有右逆元。

例題解析

例1對於集合以及該集合上的二元運算xy=lcm(x，y)．即求x和y的最低公倍數，指出該運算的性質，並求出它的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。

解 根據定義可求得：

(1)運算可交換、可結合。

(2)，1為單位元。

(3)不存在零元。

(4)只有1有逆元，是它自己，其他正整數無逆元。

例2 定義實數集R上的二元運算：，R中的元素對運算都存在逆元素嗎?

解 首先要考慮它是否存在單位元素。

若是左單位元，則對任意r∈R，應有，於是,。由於是任意的，只有。因此，0是運算的左單位元素。同理可證明，0也是運算的右單位元素，故該運算存在單位元素0。

那么R中的元素是否都有逆元素呢?我們設s是r的左逆元，則應有

於是，即，。

同理，可求得的右逆元也為。

因此，只要，R中任意元素均有逆元，其逆元是。例如，5的逆元是，可以驗證。

左右逆元素相等且唯一的條件

左右逆元素相等且唯一的條件是：

1)運算有單位元素；

2)元素a的左右逆元素都存在；

3)滿足結合律。

通過以上分析，我們得出如下定理：

定理1 設為S上可結合的二元運算，e為該運算的單位元，對於x∈S，如果存在左逆元和右逆元，則有

且y是x的唯一的逆元。