零元

設*是定義在集合S上的一個二元運算，如果有一個元θ_l∈S，使得對於任意的元素x∈A都有θ_l*x=θ_l，則稱θ_l為S中關於運算*的左零元；如果有一元素θ_r∈S，對於任意的元素x∈S都有x*θ_r=θ_r，則稱θ_r為S中關於運算*的右零元；如果S中有一元素θ，它既是左零元又是右零元，則稱θ為S中關於運算*的零元。

基本介紹

• 中文名：零元
• 外文名：zero element
• 所屬學科：離散數學
• 相關概念：左零元、右零元、二元運算等

定義

設是一個代數系統，是集合A上的一個二元運算。

(1) 若存在元素，對一切都有，則稱為A中關於運算的左零元(left zero)；

(2) 若存在元素，對一切都有，則稱為A中關於運算的右零元(right zero)；

(3)若存在元素，對一切都，則稱為A中關於運算的零元(zero element)。

相關性質

定理1 設是一個代數系統，是集合A上的一個二元運算。若A中有關於運算的左零元與右零元，則，且A中零元唯一。

證明: 。

假設A中有兩個零元與，則。

定理2 設是一個代數系統，是集合A上的一個二元運算，且A中元素的個數不小於2。若該代數系統中存在麼元e和零元，則。

證明：假設，則對任意a∈A，有於是，集合A中所有元素都相同，這與A中元素的個數不小於2相矛盾。

例題解析

例1 設代數系統，其中P(A)是有限集合A的冪集，是集合的交與並運算。則的麼元為A，零元為；則的麼元為，零元為A。

例2 設代數系統，其中R是實數集，+與×是實數加與乘運算。則+的麼元為0，且沒有零元；則×的麼元為1，零元為0。

例3 設，定義集合A上的兩個二元運算和△分別如表1與表2所示。則1，2均是運算的右零元。2是△運算的零元。

表1

	1	2	3	4
1	1	2	4	1
2	1	2	3	4
3	1	2	3	4
4	1	2	3	4

表2

△	1	2	3	4
1	2	2	1	4
2	2	2	2	2
3	1	2	3	4
4	1	2	4	3