k不動置換類

設G是1,2,...,n 的置換群。若k是1…n中的某個元素，G中使k保持不變的置換的全體，記以Zk，叫做G中使k保持不動的置換類，簡稱k不動置換類。

基本介紹

• 中文名：k不動置換類
• 外文名：k Stabilizer

定義

設G是1,2,...,n 的置換群。若k是1…n中的某個元素，G中使k保持不變的置換的全體，記以Zk，叫做G中使k保持不動的置換類，簡稱k不動置換類。

性質

群G中關於k的不動置換類Zk是G的一個子群。

證明

封閉性：p1，p2分別是使k不動的兩個置換，即p1，p2屬於Zk，則p1p2屬於Zk。

結合律：對於群結合律成立，Zk屬於G，故Zk中元素結合律成立。

單位元：群G的單位元屬於Zk，也是Z的單位元。

逆元素：p屬於Zk使得k保持不變，p的逆元屬於G也使k不變，故逆元存在。

因此Zk本身也是一個群，是群G的一個子群。

重要定理

G是S_n的一個子群，Z_k表示G中k不動的置換群。k所屬的等價類記為E_k。有

證明：令k所在的等價類 ，且 由關係定義可知，存在 ，使得 令 構造

下面證明它們具有如下3個性質：

假若 ，用 的逆元 左乘等式兩邊，推出 . 所以當 時，必有 .由此可知 .

中的任意元素 均把 映射到 ， 中的任意元素， 均把 映射到 ，因為 ，所以 和 沒有公共元素。

因為 ，所以 . 由此得出 .另一方面，任取, 則是D上的置換，,則a與等價，

故，不妨假設，由於，所以由此可知，

從而

.

由上述3個性質可以得到

例1.對於，有，滿足

例2：G={e, (12), (34), (12)(34) }

E₁=E₂={1, 2}，Z₁=Z₂={e, (34) }，|E₁|*|Z₁|=2*2=4=|G|.

套用

1. G={e, (1,2), (3,4), (1, 2)(3, 4)
   則使1不動的置換類Z1={e, (3, 4)}，其中e是單位元
   
2. 設G是N={1,2,...,n}上的置換群，G在N上可以引出不同的等價類，則不同等價類的個數為
   

其中，| G | 表示群G中元素的個數。具體證明方法見：burnside引理