交代群

Sn中偶置換的全體構成一個1/2(n!)階的子群，記作An，稱為交代群。

基本介紹

• 中文名：交代群
• 外文名：無
• 定義：見正文
• 證明：見正文

定義

S_n中偶置換的全體構成一個1/2(n!)階的子群，記作A_n，稱為交代群。

證明

證明：先證A_n是S_n的子群。首先單位元(1)(2)...(n)是偶置換，故A_n非空。

（1）封閉性：若p₁，p₂是偶置換，則p₃=p₂p₁也是偶置換，故封閉性成立；

（2）結合律：置換群的結合律成立；

（3）單位元素：置換群的單位元素本身就是偶置換；

（4）逆元素：(i k)的逆元素為(i k)，p = (i₁ j₁) (i₂ j₂) ... (i_k j_k)的逆元素為p-1 = (i_k j_k) (i_k-1 j_k-1) ... (i₁ j₁)，

pp^-1 = (i₁ j₁) (i₂ j₂) ... (i_k j_k) (i_k j_k) (i_k-1 j_k-1) ... (i₁ j₁)

由於(i_k j_k) (i_k j_k) = e，

所以有pp^-1 = (i₁ j₁) (i₂ j₂) ... (i_k-1 j_k-1) (i_k-1 j_k-1) ... (i₁ j₁) = ... = (i₁ j₁) (i₂ j₂) (i₂ j₂) (i₁ j₁) = (i₁ j₁) (j₁ i₁)

= (1) (2) ... (n)

同理證p^-1p = (1) (2) ... (n)

從而證得偶置換的全體構成群，記作A_n。

令B_n = S_n \ A_n，即B_n為S_n中奇置換的全體，任取其中一個換位(i,j)，對於A_n的任一置換p，

則(i j)p是奇置換，即(i j)p∈B_n。所以|A_n| ≤ |B_n| (1)

類似地，

對於集合B_n的任一置換q，顯然有(i j)q∈A_n，即(i j)q是偶置換。

所以，|B_n| ≤ |A_n| (2)

由式(1)與式(2)可得，|A_n| = |B_n|。又|A_n| + |B_n| = n!，所以|A_n| = 1/2(n!)。