子模

子模(submodule)是模論的重要概念之一，指A模M滿足一定條件的子集。定義：設M是一個R - 模，A是M的一個子集，如果A對於M的加法和M與R的數乘來說也構成一個R - 模，則稱A是M的一個子模，M稱為A的擴模。

基本介紹

• 中文名：子模
• 外文名：submodule
• 定義：A模M滿足一定條件的子集
• 包含：極大子模、極小子模等
• 一級學科：數學
• 二級學科：模論

定義

子模(submodule)是模論的重要概念之一，指A模M滿足一定條件的子集。利用子模來研究模是一種常用方法。若N是交換加法群M的子群，並且A到M的運算也是A到N上的運算，即，對任意a∈A，y∈N，積ay∈N，則N本身也是A模，稱為M的子模或子A模。任何一個非零A模M至少有兩個子模，一個是零模(只有一個元素0)，另一個是M自己，稱為M的平凡子模，而M的其餘子模稱為M的非平凡的子模。若N是M的子模，且N≠M，則稱N為M的真子模。若 是A模M的子模簇，則 和 仍是M的子模。較為重要的子模有極大子模、極小子模、本質子模和多餘子模等。模M的所有子模組成一個格。

分類

極大子模

極大子模(maximal submodule)是一類重要子模。若N是A模M的真子模，並且不存在嚴格包含N的M的真子模(即，若N'是M的真子模，且N' N，則一定有N'= N成立)，則稱N是M的極大A子模。並不是所有的A模都有極大子模。若M是有限生成的非零A模，則M必有極大子模，並且M的每個真子模必被包含在一個極大子模內。投射模一定有極大子模。若N是模M的極大子模，則商模M/N是單模。

極小子模

極小子模(minimal submodule)是與極大子模是互為對偶的概念。若N是A模M的子模，並且不存在嚴格包含在N內的M的非零子模(即，若N'是M的非零子模，且N' N，則一定有N'= N成立)，則稱N為M的極小子模。A模M是單模的充分必要條件為M是它的極小子模。

本質子模

本質子模(essential submodule)亦稱大子模。是一類重要的子模。它是在一定程度上可代替模本身的子模，是多餘子模的對偶概念。設K是A模M的子模，若對M的子模L，由K L=0可斷言L=0(即，K與M的每個非零子模都相交)，則稱K為M的本質子模，此時，稱M是K的本質擴張。本質子模具有遺傳性，即：若N是M的本質子模，K是N的本質子模，則K也是M的本質子模。

多餘子模

多餘子模(superfluous submodule)亦稱小子模，是一類重要的子模，也是本質子模的對偶概念。設K是A模M的子模，若對M的子模L，由K+L=M可斷言L=M，則稱K為M的多餘子模。記為K M。