商模

商模

商模(quotient module)是模論的重要概念之一,模M與它的商模M-之間的性質有著密切的聯繫。它是將A模M的元素進行陪集分類後所得到的新模,亦稱“差模”。設是上左模的一個子模,則商群M/N中可定義R中元素的作用:a(x+N)=ax+N,其中a∈R,x∈M,x+N∈M/N,則M/N成為一個模,稱為M關於N的商模,同樣可定義右模的商模。

基本介紹

  • 中文名:商模
  • 外文名:quotient module
  • 所屬領域:模論的重要概念之一
  • 別名:差模
定義,相關性質,相關概念,定義1,定義2,引理1,定理2,

定義

設M是一個R-模,N是M的一個R-子模,則N是加法群M的子群,於是有商群M/N,它的元素是N在M內的陪集
,因為N為R-子模,我們可以把M/N作成R-模,在商群內有加法:
對於
,我們規定
因為當
時,
.而N是R-子模,所以
,這就說明
在商群M/N上按上面方法定義的R-模稱為模M關於子模N的商模,仍使用符號M/N表示這個商模。

相關性質

定理1 設B是R-模,D是B的子模,另有
也是B的子模,且滿足
,則商模B/D與
之間滿足
。反之,若已知M是B/D的子模,則一定存在B的子模
,滿足
且有

相關概念

定義1

令A,B是R的兩邊理想,置
即AB是由所有的乘積ab(a∈A,b∈B)生成的加群,易見AB是一個理想,叫作理想A與B之積
註:

定義2

令C是R的兩邊理想,則:
(1)說C是R的強素理想
(2)說C是R的素理想
(3)r稱為左零因子
類似地,可定義右零因子
(4)說R中沒有零因子:
中不存在左右零因子。
(5)令r∈R,
叫作右逆左逆,或者叫r的逆元素
,或者
,或者
註:
(1)如果存在右零因子,則一定存在左零因子,反之亦然。
(2)如果
分別是r的左、右逆元:則
由定義1易知:

引理1

(1)C是強素理想
C是R的素理想。
(2)如果R是交換的,則(1)之逆也成立。

定理2

令C是R的兩邊理想,則下述命題成立:
(1)C是R的強素理想
R/C沒有零因子。
(2)C是R的素理想
零理想是R/C的素理想。
(3)C是R的兩邊理想
R/C是單的。
(4)C是R的極大右理想
R/C是體。

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