基本介紹
- 中文名：賦范可除代數
- 外文名：Divisor Algebra
定義,性質,胡爾維茲定理,其它性質,其它,
定義
性質
胡爾維茲定理
胡爾維茲定理【1,2,4,8定理，阿道夫·胡爾維茲，1898】：任何帶有單位元的賦范可除代數同構於以下四個代數之一：實數R、複數C、四元數H和八元數O。
其它性質
唯一的複數域上的賦范可除結合代數是複數域自身。
賦范可除代數是合成代數的一種特殊情況。合成代數是具有可乘的二次型的麼代數。通常的合成代數不必是可除的，相反，它可能含有零因子。實數域上的合成代數提供了三種額外的代數：分裂複數、分裂四元數和分裂八元數。
其它
對實賦范可除代數的分類始於弗洛比紐斯，發揚於胡爾維茲，由佐恩整理為一般形式。一個簡短的歷史摘要可見Badger。
胡爾維茲完整的證明能在凱特和索洛多斯尼科夫或者夏皮羅處找到。
基本思路：如果一個代數A是成正比於1的，那么它同構於實數。否則，我們使用凱萊-迪克森結構擴展子代數以同構於1，並引入一個向量正交於1。此子代數是同構於複數的。如果它不是A的全體，那么我們再次使用凱萊-迪克森結構和另一個與複數正交的向量，得到一個與四元數同構的子代數。如果這還不是不是A的全體，我們重複以上行為一次，並得到同構於凱萊數（或八元數）的子代數。我們現在有一個定理，說的是每一個包含1而又不是A自身的子代數是結合的。凱萊數不是結合的，因此必須為A。
胡爾維茲定理也可以用於證明n個平方和與n個平方和的積仍可以寫成n個平方和僅當n為1,2,4或者8時。
