射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。也叫投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處於一個特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學聯繫起來。
基本介紹
定義,概述,歷史,最終確立,內容,套用,
定義
射影幾何學亦稱近世幾何或投影幾何，它是研究圖形在射影變換下不變性質的學科。該學科在古典幾何學中是最基礎的、最廣泛的和最自由的，同時，它還是公理化數學的典型一例，也可以說它是現代幾何學的先驅。
概述
1822年法國數學家彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。
概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，是專門研究圖形的位置關係的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上時，圖形的不變性質的科學。
射影幾何的最早起源是繪畫。歐洲文藝復興時期透視學的蓬勃發展，給射影幾何的成長準備了良好的條件。懂得一點美術知識的同志都知道什麼是透視。例如：兩條鐵軌本來是互相平行的。通過透視，它們越到遠處越是靠攏。最後在無窮遠的地方相交於一點。
在射影幾何里，兩條平行直線在無窮遠處相交，該點稱為無窮遠點。無窮遠點的軌跡是一條無窮遠直線，這些與歐氏幾何是不相同的。歐氏幾何的所有圖形通過剛體變換（如平移、旋轉）以後，線段的長短、角度的大小、圖形和形狀和面積等都不會改變。研究平面或空間幾何圖形在剛體變換下有哪些不變性質的幾何學，就是歐氏幾何學。如果從中心O發出一個光線的投射錐，矩形ABCD在平面P上的截景是A′B′C′D′。截景 A′B′C′D′ 未必還是一個矩形。從直觀上很容易看到與ABCD在大小和形狀上都發生了變化。那么圖形A′B′C′D′ 與ABCD通過這種射影變換後，還有什麼共同的幾何性質呢？
研究圖形在射影變換下有哪些不變的性質的幾何學就叫做射影幾何學。
射影幾何里最基本的概念之一就是交比。在一個圖形中，S為中心點，從S畫出四條射線組成一個固定的線束。另一條直線與線束分別交於A、B、C、D。 AB/CD：AD/BC 或AB·CD/BC·AD 叫做這個線束上的交比。不論直線L怎樣取法（如 l′ ），只要線束固定，交比的值總是不變的。交比的不變性，就是射影變換下不變性質中最基本一種性質。射影幾何里許多重要的性質都是從交比性質推導出來的。
如果就幾何學內容的多少來說，射影幾何學<仿射幾何學< 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內容最豐富，而射影幾何學的內容最貧乏。比如在歐氏幾何學裡可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學裡不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學裡也不能討論圖形的度量性質。
歷史
在文藝復興時期，人們在繪畫和建築藝術方面非常注意和大力研究如何在平面上表現實物的圖形。那時候，人們發現，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然後再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關係，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸產生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。
射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支，主要是在十七世紀。在17世紀初期，克卜勒最早引進了無窮遠點概念。稍後，為這門學科建立而做出了重要貢獻的是兩位法國數學家——笛沙格（或譯作德扎格）和布萊士·帕斯卡。
笛沙格是一個自學成才的數學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，後來鑽研工程技術，成了一名工程師和建築師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐曲線和平面的相交所得結果的初稿》，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。
迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應頂點連線共點，那么對應邊的交點共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。
帕斯卡也為射影幾何學的早期工作做出了重要的貢獻，1641年，他發現了一條定理：“內接於二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。1658年，他寫了《圓錐曲線論》一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內容。迪沙格和他是朋友，曾經敦促他搞透視學方面的研究，並且建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化成少數幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。後來他寫了許多有關射影幾何方面的小冊子。
不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關聯性質而不涉及度量性質(長度、角度、面積)。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會導致產生一個新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創立，綜合法讓位於解析法，射影幾何的探討也中斷了。
最終確立
另—方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創建一種齊次坐標系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進丁另一種齊次坐標系，得到了平面上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了線坐標概念，於是從代數觀點就自然得到了對偶原理，並得到了關於一般線素曲線的一些概念。
在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免藉助於代數，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優美的體系，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體系。
射影幾何學的發展和其他數學分支的發展有密切的關係，特別是“群”的概念產生以後，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。
把各種幾何和變換群相聯繫的是克萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得十分明朗。這個綱領產生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。後來嘉當等在拓廣幾何分類的方法中作出了新的貢獻。
內容
在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。歐式直線再加上一個無窮點就是射影幾何中的直線，如果一個平面內兩條直線平行，那么這兩條直線就交於這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直線平行。
在引入無窮遠點和無窮遠直線後，原來普通點和普通直線的結合關係依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。
由於經過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統一了。平行射影可以看作是經過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。
射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平麵點之間的射影對應。
在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直
線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容只是關於點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。
點 | 直線 |
在……上 | 經過…… |
連線兩點的直線 | 兩直線的交點 |
共點 | 共線 |
切線 | 切點 |
軌跡 | 包絡 |
…… | …… |
