歷史上由歐幾里得集大成，建立比較完整的歐幾里得幾何，後來俄國的羅巴切夫斯基， 匈牙利的鮑耶， 和德國的高斯建立了非歐幾何。它與歐氏幾何的不同就在於所謂歐氏平行公理： 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行· 如果把這條公理改成 “過直線外一點有兩條以上的直線與已知直線平行”, 而保持其它公理不變， 就得到一種新的幾何， 稱為非歐幾何·
基本介紹
- 中文名：高維幾何
- 外文名：High dimensional geometry
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歷史過程
後來人們又建立了射影幾何和仿射幾何。射影幾何主要研究中心投影現象，而仿射幾何主要研究平行投影下圖形怎么變化的。
不足
前述幾種幾何，均是研究“均勻”介質里的幾何。以黎曼幾何為例，雖然黎曼幾何可以用球面來模擬，但是，球面本身是“均勻”的。如果考慮到空間介質是不均勻的，即可得到高維幾何。
高維幾何的一個特點，是考慮空間的“濃淡”，即含有元素的密度。這樣，單純的說1m^3的體積就是錯誤的，必須指明在哪個參考系中的1m^3——因為不同參考系的密度標準是不一樣的。也就是說，地球表面的1m^3體積和離開地球表面的1m^3體積在高維幾何里是不同的。
定義
任何一門學科，總有些定義是用語言來描述的，本身無法定義。高維幾何也一樣。 若現實空間中存在m個曲線組成的曲面，存在微段dx、微角da，存在函式族xsct a 。
設m=2，xsct函式族之xtan a、xsin a、xcos a分別滿足tan a、sin a、cos a的級數形式，則此曲面為歐幾里德平面。否則為非歐面，比如羅氏幾何和黎曼幾何。
若空間中存在共點的m個曲線，這些曲線包含於n個曲面，這n個曲面包含於此空間。
設m=3 且 n=3 且 xsct a 函式族滿足tan a 、sin a、 cos a的級數形式，則此多維空間為三維歐幾空間。
由於xsct a函式的定義有無數種，所以，當n>3時，即可得到高維幾何。比如，若xsin a 大於1，則此時空間內兩點之間最短的可能是條曲線。
物理模型
二維空間，可以使用濃淡不一的點平面表示。兩束平行入射光的經過路徑是兩條曲線，當存在極度濃點，那么它們就是黎曼幾何（必然相交）；若濃度均勻，就是二維歐幾平面；如果濃度滿足一定要求，可以滿足羅氏幾何——過一點有N條線與已知直線平行。
高維空間，可以用密度不一的空間類似表示。如果密度dp均勻，則為三維歐幾空間；如果密度不均，即存在空間扭曲，則為高維空間。
示例
建立笛卡爾平面坐標系OXY，OX軸單位是cm。然後在此平面內充滿具有質量的點，填充的方法是：沿OY方向均勻，沿OX方向滿足在x位置dx的OY方向長條的點的質量是在x+dx位置dx質量的fx倍。
此平面可以用兩種方法描述：第一是均勻分布點，但是每個點的質量不同（即dp不同），這樣，該平面也分布線；第二，是每個點的質量一樣，但是點的稠密程度不同，此時線有“粗細”之分。
坐標系內的“直線”是什麼樣子？
顯然，在該坐標系中，豎向的點的質量分布是均勻的（為1），橫向的質量差別最大（沿長度方向為fx），那么，每一條沿線長度方向質量差別一樣（為gx）的線即為該平面的直線。有興趣的讀者可以試著舉例畫一下。
