蝴蝶定理:定理定義,驗證推導,霍納證法,作圖法,對稱法,面積法,帕斯卡證法,射影法

蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一。這個命題最早出現在1815年，由W.G.霍納提出證明。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形像一隻蝴蝶。這個定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數學愛好者研究，在考試中時有各種變形。

基本介紹

中文名：蝴蝶定理
外文名：Butterfly Theorem
別稱：蝴蝶原理
表達式：XM=MY
提出者：W.G.霍納
提出時間：1815年
套用學科：科學，數學，物理等
適用領域範圍：理科，幾何
適用領域範圍：高等數學
驗證推導：霍納證法等

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定理定義

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ於點X和Y，則M是XY的中點。

去掉中點的條件，結論變為一個一般關於有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”，不為中點時滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,這對2，3均成立。

驗證推導

霍納證法

過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，

連線ON，OM，OS，SL，ST，易證明△ESD∽△CSF

∴DS/FS=DE/FC

根據垂徑定理得：DL=DE/2，FT=FC/2

∴DS/FS=DL/FT

又∵∠D=∠F

∴△DSL∽△FST

∴∠SLD=∠STF

即∠SLN=∠STM

∵S是AB的中點所以OS⊥AB

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）

同理，O，T，M，S四點共圓

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

∴∠SON=∠SOM

∵OS⊥AB

∴MS=NS

作圖法

從X向AM和DM作垂線，設垂足分別為X'和X''。類似地，從Y向BM和CM作垂線，設垂足分別為Y'和Y''。

（證明過程見圖片）

對稱法

（證明過程見圖片）

面積法

（證明過程見圖片）【此方法也可證明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】

帕斯卡證法

連線CO、EO並延長分別交圓O於I、J，連線IF、DJ交於K，

連線GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共線

∵M為AB中點 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°

又∵CI、EJ為⊙O直徑

∴∠GFK=∠HDK=90°

又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°

∴G、F、K、M共圓，H、D、K、M共圓

∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH

又∵∠GFM=∠MDH

∴∠GKM=∠MKH

又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴△GMK≡△HMK（ASA）

∴GM=MH

射影法

1.構造特殊情況：如右圖1，A'B'、C'D'、M'N'為⊙O'內三條直徑，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，則由圓中心對稱性知P'O'=Q'O'.

2.中心投影：在不屬於⊙O'所在平面的空間上任取一點T作為投影中心，用平行於直線M'N'的平面截影，則圓O'被射影為橢圓，線段M'N'被射影為與之平行的M''N''，如圖2，則對應存在P''O''=Q''O''.

3.仿射：將圖2的橢圓仿射為圓，如圖3，由仿射不變性知PO=QO.

定理推廣

該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，有多種推廣：M，作為圓內弦是不必要的，可以移到圓外。

蝴蝶定理的圓外形式：

如圖，延長圓O中兩條弦AB與CD交於一點M，過點M做OM垂線，垂線與CB和AD的延長線交於E、F，則可得出ME=MF（證明方法可參考蝴蝶定理的證法2、3、4）

1.在橢圓中

如圖一，橢圓的長軸A₁、A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，

中心為M(o，r)（b>r>0）。

（I）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率

（II）直線y=k₁x交橢圓於兩點C（x₁,y₁）,D(x₂，y₂)（y₂>0）；直線y=k₂x交橢圓於兩點G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄>0）。求證：k₁x₁x₂/(x₁+x₂)=k₂x₃x₄/(x₃+x₄)

（III）對於（Ⅱ）中的C，D，G，H，設CH交X軸於點P，GD交X軸於點Q。

求證： | OP | = | OQ |。（證明過程不考慮CH或GD垂直於X軸的情形）

從x向AM和DM作垂線，設垂足分別為X'和X''。

類似地，從Y向BM和CM作垂線，設垂足分別為Y'和Y'

設：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)為①式，兩邊同取倒數，得為

1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’

設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為 ②式，兩邊同取倒數，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’

將①’兩邊同乘以k1·k2，即得

k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

它與②’完全一樣。這裡利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的，有分析、有綜合，有思維，有運算。思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想。

縱觀這道題的題目特徵及解答過程，我們看到了用代數方程方法處理幾何問題的作用與威力。

2.在圓錐曲線中

通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。

圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。

而通過投影變換可以非常容易證明這個定理。

射影幾何裡面關於投影變換有一個重要結論，對於平面上任意兩個圓錐曲線C1,C2.任意指定C1內部一個點A1和C1上面一個點B1,另外任意指定C2內部一個點A2和C2上面一個點B2,存在一個唯一投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.

由此對於本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個圓M，而將弦PQ的中點M變換成這個圓的圓心。

在此變換以後，弦AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形ACBD是圓M內接矩形，PQ也是一條直徑，有對稱性顯然得出投影變換後M為X,Y的中點。又因為變換前後M都是線段PQ的中點，我們可以得出在直線PQ上這個變換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中點。

3.在平行四邊形中

在平行四邊形中，M為對角線AB與CD中點。

4.坎迪定理

去掉中點的條件，結論變為一個一般關於向量的比例式，成為「坎迪定理」，這對2，3均成立

發展歷史

這個命題最早作為一個征解問題出現在公元1815年英國的一本雜誌《男士日記》（Gentleman's Diary）39-40頁（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人們的證明都並非初等，且十分繁瑣。

這篇文章登出的當年，英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納（他發明了多項式方程近似根的霍納法）給出了第一個證明，完全是相等的；另一個證明由理察·泰勒（Richard Taylor）給出。

另外一種早期的證明由M.布蘭德（Mile Brand）1827年的一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何的證法，由英國的J·開世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"給出，只有一句話，用的是線束的交比。

“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號，題目的圖形象一隻蝴蝶。

1981年，Crux雜誌刊登了K.薩蒂亞納拉亞納（Kesirajn Satyanarayana）用解析幾何的一種比較簡單的方法，利用直線束，二次曲線束。

1990年，CMO出現了箏形蝴蝶定理。

定理意義

蝴蝶定理是古典歐式平面幾何的最精彩的結果之一。這個定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。

蝴蝶定理