共圓定理

同圓或等圓中的三角形面積比等於三邊乘積之比

基本介紹

• 中文名：共圓定理
• 外文名：Circular theorem
• 表達式：S1:S2=a1*b1*c1:a2*b2*c2
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學

證明

情況1

兩個三角形在同圓中：（證法見右圖）

情況2

兩個三角形在等圓中：只需將兩個等圓平移至重合，轉換為同圓中的情況

套用

共圓定理雖然十分簡潔，但它的用處不小，尤其是在面積法解題的過程中，發揮著巨大的作用

用面積法證明蝴蝶定理

蝴蝶定理：AB是圓內的一段弦，M是AB中點，C、D是圓上的任意兩點，連線CM、DM並延長分別交圓於E、F，連線DE、CF分別交AB於G、H，則MG=MH（見右上圖）

蝴蝶定理

（證明過程見右下圖）

用面積法證明蝴蝶定理

用面積法證明坎迪定理

坎迪定理：AB是圓內的一段弦，P是弦AB上任意一點，C、D是圓上的任意兩點，連線CP、DP並延長分別交圓於E、F，連線DE、CF分別交AB於G、H，設AP=a，BP=b，GP=x，HP=y，則(1/a)-(1/b)=(1/x)-(1/y)

（見右上圖）【PS：坎迪定理是蝴蝶定理的一般形式】

坎迪定理

（證明過程見右下圖）

用面積法證明坎迪定理

PS：共圓定理還可以證明蝴蝶定理和坎迪定理的一些推廣

用於導比例

共圓定理可以用於導比例，比如下面一道例題

在三角形ABC中，D、E、F分別是線段BC、線段AC、線段AB上的點，連線DE、EF、DF，且DE=1/2AB，DF=1/2AC，EF=1/2BC，求證：D、E、F分別是BC、AC、AB中點（見右上圖）

例題

（證明過程見右下圖）

例題證明

PS：共圓定理還有其他的套用，在此就不一一列舉了