球冪定理

定理介紹

類比圓冪定理有：

定理1

：從球面外一點P向球面引割線，交面於Q、R兩點；再從點P引球面的任一切線，切點為S，則

PS2=PQ*PR.

定理2

：從球面外一點P向球面引兩條割線，它們分別與球面相交於Q、R、S、T四點，則

PQ*PR=PS*PT.

定理3

：設點P是球面內一點，過點P作兩條直線，分別與球面相交於Q、R、S、T四點，則PQ*PR=PS*PT.

定理1、2、3統稱為球冪定理。

具體證明可以通過P、Q、R、S、T五點在同一個平面內，劃歸為平面問題來解決，接下來的證明就和圓冪定理是一樣的了。

證明如下：

因為直線QR與ST相交於點P，所以直線QR與ST共面。又因為這兩條直線均與球O相交，所以Q、R、S、T四點共圓。然後就是圓冪定理的證明：（Q、R、S、T與下文中的A、B、C、D相對應）

圖Ⅰ：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交於點P，連線AD、BC，由於∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以

。所以有：

，即：

。

圖Ⅱ：割線定理。如圖，連線AD、BC。可知∠B=∠D，又因為∠P為公共角，所以有

，同上證得

。

圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連線AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因為∠P為公共角，所以有

，易證

圖Ⅳ：PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此

。所以PA=PC，所以

。

綜上可知，

是普遍成立的。