基本介紹
- 中文名：割線定理
- 外文名：Secant Theorem
- 別稱：無
- 表達式：LA·LB=LC·LD=LT2
- 提出者：Jakob Steiner
- 提出時間：約西元1800
- 套用學科：數學、物理等
- 適用領域範圍：幾何
- 適用領域範圍：有關圓的任何領域
- 類屬：圓冪定理
- 作用：求線段長度
定理定義,驗證推導,證明一,證明二,證明三,比較,
定理定義
文字表達：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。
數學語言：從圓外一點L引兩條割線與圓分別交於A.B.C.D 則有 LA·LB=LC·LD=LT2。
幾何語言：∵割線LDC和LBA交於圓O於ABCD點
∴LA·LB=LC·LD=LT2
如右圖所示。(LT為切線）
驗證推導
證明一
已知：如圖直線ABP和CDP是自點P引的⊙O的兩條割線
求證：PA·PB=PC·PD
證明：連線AD、BC∵∠A和∠C都對弧BD
∴由圓周角定理，得 ∠DAP=∠BCP
又∵∠P=∠P
∴△ADP∽△CBP （如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。）
∴AP:CP=DP:BP
即AP·BP=CP·DP
證明二
既然圓內接四邊形定理可以從割線定理而得，那么或許割線定理就可以從圓內接四邊形定理而得。
如圖所示。
已知：從圓O外一點P引兩條圓的割線，一條交圓於A、B，另一條交圓於C、D
求證：AP·BP=CP·DP
證明：連線AC、BD
由圓內接四邊形定理得
∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°
又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定義）
∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的補角相等）
∴△ACP∽△DBP（兩角對應相等的三角形相似）
∴AP/DP=CP/BP（相似三角形對應邊成比例）
∴AP·BP=CP·DP（比例基本性質）
證明三
根據切割線定理求證。
已知：從圓O外一點P引兩條圓的割線，一條交圓於A、B，另一條交圓於C、D
求證：AP·BP=CP·DP
過點P作圓O的切線，記切點為T
由切割線定理可知：AP·BP=PT2，CP·DP=PT2
∴AP·BP=CP·DP
割線定理的證明
割線定理的證明