基本介紹
- 中文名：圓周角定理
- 外文名：The circumferential angle theorem
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：歐氏幾何
定理內容,定理證明,定理推論,
定理內容
圓周角的度數等於它所對弧上的圓心角度數的一半。
定理證明
已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.
證明：
情況1：
如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：
∵OA、OC是半徑
圖1
圖1解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情況2：
如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時：
連線AO，並延長AO交⊙O於D∵OA、OB、OC是半徑
圖2
圖2解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）
∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情況3：
如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：連線AO，並延長AO交⊙O於D連線OA,OB。
圖3
圖3解：∵OA、OB、OC、是半徑
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圓心角等於180度的情況呢？
看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，
顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2
∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度
所以2∠ACB=∠AOB
圓心角大於180度的情況呢？
看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，
只要延長AO交園於點D，由圓心角等於180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度
根據情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC
根據情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC
所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度
即∠ACB=180度-∠ADB
由情況2可知：∠AOB=2∠ADB
所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB
定理推論
1.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；
圓周角圖
圓周角圖2.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半；
3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。
4.半圓（直徑）所對的圓周角是直角。
5.90°的圓周角所對的弦是直徑。
6.等弧對相等的圓周角。（因為相等的弧只有一個圓心角）
注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。
