在△ABC中，若每一邊上有一對點，且每兩對點都共圓，則這三對點共圓，即六點共圓。
定義,證明,
定義
三角形的每邊所在直線有一對點(即兩個點，可以重合),若每兩對點同在一個圓上,則三對點(六點)均在同一圓上。可用於九點圓的證明
證明
如圖，P、Q在B、C上，R、S在A、C上，M、N在A、B上，且M、N、P、Q共圓，P、Q、R、S共圓，R、S、M、N共圓.求證：P、Q、R、S、M、N六點共圓.
證明：設PQ、RS、MN，畫的中點分別為X，Y，Z，過X作BC的垂線，過Y作CA的垂線，過Z作AB的垂線，若三條直線交於一點O，即三圓之共同圓心，於是六點共圓。
所以只需證明BX2 - CX2 +CY2 -AY2+AZ2 -BZ2 =0，
設 △ABC三對應邊邊長分別為a、b、c，AM=m，BN=n，BP=p，CQ=q，CR=r，AS=s，則由割線定理，有m(c-n)=s(b-r)，n（c-m）=p（a-q），q（a-p）=r（b-s）.而 AZ2-BZ2=c（m-n），同理BX2-CX2=a（p-q），CY2-AY2=b（r-s）。由三個割線定理，三式累加即得結論.
