圓冪定理

圓冪定理是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）的統一，例如如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交於A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD。

基本介紹

• 中文名：圓冪定理
• 外文名：power of a point
• 表達式：PA·PB=PC·PD
• 套用學科：數學-平面幾何-圓
• 適用領域範圍：數學-平面幾何-圓
• 包括：割線定理,切割線定理,相交弦定理

發展簡史

圓冪定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論的統一與歸納。根據兩條與圓有相交關係的線的位置不同，有以下定理：

• 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
  
• 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
  
• 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交於A、B；C、D，則有PA·PB=PC·PD
  

從上述定理可以看出，兩條線的位置從內到外，都有著相似的結論。經過總結和歸納，便得出了圓冪定理。

點對圓的冪

定義

P點對圓O的冪定義為

性質

點P對圓O的冪的值，和點P與圓O的位置關係有下述關係：

• 點P在圓O內→P對圓O的冪為負數；
  
• 點P在圓O外→P對圓O的冪為正數；
  
• 點P在圓O上→P對圓O的冪為0。
  

注意：以上關係除正向套用通過點和圓的位置關係判斷點對的圓的冪的符號，還可以逆向套用，通過點對圓的冪的符號反推點和圓的位置關係。

在某些書中，點P對圓O的冪表示為

定理證明

圖Ⅰ：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交於點P，連線AD、BC，由於∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。

圖Ⅱ：割線定理。如圖，連線AD、BC。可知∠B=∠D，又因為∠P為公共角，所以有

，同上證得。

圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連線AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，易證

圖Ⅳ：切線長定理。PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。所以PA=PC，所以。

圓冪定理的所有情況

綜上可知，是普遍成立的。