蒙日定理

蒙日定理，指的是由加斯帕爾·蒙日提出的一個幾何定理，也叫做根心定理。指的是平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交於一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線且不為同心圓，則三條根軸互相平行。

基本介紹

• 中文名：蒙日定理
• 外文名：Monge Theory
• 提出者：加斯帕爾·蒙日
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何學

提出者

加斯帕爾·蒙日（Gaspard Monge，1746～1818），法國數學家、化學家和物理學家。

定理內容及證明

內容

平面上任意三個不同心圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交於一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。

引理

對於平面上的一個圓⊙和不在圓上的任一點，過做一條直線交 ⊙於兩點（若直線與圓相切則設兩點重合），由圓冪定理可知為定值（即與的位置無關），我們把這個定值記作Ω_O(P)，叫做P對⊙的冪。明顯的，Ω_O(P)隨著P點位置的變化而變化，且對於兩個到點距離相同的兩點，Ω_O(P₁)=Ω_O(P₂)。

對於平面上兩個相交的圓 ⊙， ⊙，設它們的公共弦為，在直線上任取一點，注意到Ω_O1(X)==Ω_O2(X)，我們把這條弦成為兩圓的“等冪線”，也叫做“根軸”。明顯的，兩圓等冪線上的點對兩圓的冪相等。對於平面上兩個內切的圓，根軸為它們的公切線，對於兩個外切的圓，根軸為它們的內公切線。

對於平面上兩個外離的圓，使用勾股定理與圓冪定理易證根軸與兩圓的連心線相垂直。

證明

設平面上有⊙ ，⊙ ，⊙ 三個圓，⊙ 與⊙ 的根軸為 ，⊙ 與⊙ 的根軸為 ，⊙ 與⊙ 的根軸為 。即證 共點。考察 與 的交點

∵ Ω_O1(P) =Ω_O2(P)∵ Ω_O1(P) =Ω_O3(P)

Ω_O2(P) =Ω_O3(P)

共點。得證。

套用

在此僅給出一道套用到此定理的例題。