基本介紹
- 中文名：切割線定理
- 外文名：theorem of tangent and secant of a circle
- 所屬學科：數學（幾何學）
- 相關概念：切線，割線，弦切角定理等
基本介紹,切割線定理的證明,例題解析,
基本介紹
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關係。這是一個重要的定理，在解題中經常用到。
推論： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
切割線定理的證明
設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT2=PA·PB。
圖1證明：連線AT， BT。
∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)；
∴ △PBT∽△PTA(兩角對應相等，兩三角形相似)；
∴PB：PT=PT：AP；
即：PT2=PB·PA。
例題解析
【例1】求證：兩個相交圓的公共弦的延長線上任何一點到兩圓的切線等長（如下圖）。
圖2已知：P為兩圓公共弦BA的延長線上任意一點，
和
分別為以點P到
和
所引的切線，
為切點，求證：
。
證明：PAB和分別為從P點到所引的割線和切線，根據圓冪定理，可知：
同理可證
所以。
【例2】如下圖，AB為的直徑，AC為的切線，A為切點，割線CDF交AB於E。若
。求的直徑AB長。
圖3解：由切割線定理得：
，設
，則
所以：
在
中，由勾股定理得：
，
由相交弦定理得：
，
則
所以
。
