切線定理

切線定理是指一直線若與一圓有交點，且只有一個交點，那么這條直線就是圓的切線。幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。

基本介紹

• 中文名：切線
• 外文名：tangent(line)
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何

切線簡介

幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。更準確的說，當切線經過曲線上的某點（即切點）時，切線的方向與曲線上該點的方向是相同的，此時，“切線在切點附近的部分”最接近“曲線在切點附近的部分”（無限逼近思想）。tangent在拉丁語中就是to touch的意思。類似的概念也可以推廣到平面相切等概念中。

曲線切線和法線的定義

P和Q是曲線C上鄰近的兩點，P是定點，當Q點沿著曲線C無限地接近P點時，割線PQ的極限位置PT存在且唯一，則PT叫做曲線C在點P的切線，P點叫做切點；經過切點P並且垂直於切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線（無限逼近的思想）

說明：平面幾何中，將和圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線．這種定義不適用於一般的曲線；PT是曲線C在點P的切線，但它和曲線C還有另外一個交點；相反，直線l儘管和曲線C只有一個交點，但它卻不是曲線C的切線．

圓的切線

切線的性質定理

圓的切線垂直於過其切點的半徑；經過半徑的非圓心一端，並且垂直於這條半徑的直線，就是這個圓的一條切線。

切線的性質定理的推論

（1）經過切點垂直於切線的線段必是此圓的直徑或半徑。（2）圓的切線垂直於經過切點的半徑。

切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。

線段DA垂直於直線AB

線段DA垂直於直線AB

BA為圓o的切線

切線性質

切線的性質定理

圓的切線垂直於經過切點的半徑．

推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．

推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．

切線的主要性質

(1)切線和圓只有一個公共點；

(2)切線和圓心的距離等於圓的半徑；

(3)切線垂直於經過切點的半徑；

(4)經過圓心垂直於切線的直線必過切點；

(5)經過切點垂直於切線的直線必過圓心；

(6)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

其中(1)是由切線的定義得到的，(2)是由直線和圓的位置關係定理得到的,(6)是由相似三角形推得的，也就是切割線定理。

切線的判定和性質

切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線 。圓的切線垂直於這條圓的半徑。

幾何語言：∵l ⊥OA，點A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線（切線判定定理）

切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點半徑

幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O於點A

∴l ⊥OA（切線性質定理）

推論1 經過圓心且垂直於切線的直徑必經過切點

推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心

切線長定理

定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

幾何語言：∵弦PB、PD切⊙O於A、C兩點

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切線長定理）

弦切角

弦切角定理 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角

幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠A所對的是

∴∠BCN=∠A

推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠ACM所對的是 ， =

∴∠BCN=∠ACM

弦切角概念：頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角．它是繼圓心角、圓周角之後第三種與圓有關的角．這種角必須滿足三個條件：

（1）頂點在圓上，即角的頂點是圓的一條切線的切點；

（2）角的一邊和圓相交，即角的一邊是過切點的一條弦所在的射線；

（3）角的另一邊和圓相切，即角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線．

它們是判斷一個角是否為弦切角的標準，三者缺一不可，比如下圖中 均不是弦切角．

（4）弦切角可以認為是圓周角的一個特例，即圓周角的一邊繞頂點旋轉到與圓相切時所成的角．正因為如此，弦切角具有與圓周角類似的性質．

弦切角定理：弦切角等於它所夾的孤對的圓周角．它是圓中證明角相等的重要定理之一．

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。