夾角

在數學中，兩條直線（或向量）相交所形成的最小正角稱為這兩條直線（或向量）的夾角，通常記作∠Θ（Included angle），夾角的區間範圍為{Θ|0≤Θ≤π}。

角在幾何學和三角學中有著廣泛的套用。

幾何之父歐幾里得曾定義角為在平面中兩條不平行的直線的相對斜度。普羅克魯斯認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨認為角是相對一直線的偏差，安提阿的卡布斯認為角是二條相交直線之間的空間。歐幾里得認為角是一種關係，不過他對直角、銳角或鈍角的定義都是量化的。

基本介紹

• 中文名：夾角
• 外文名：Included angle
• 所屬：數學術語
• 拼音：jiá jiǎo 
• 套用學科：數學
• 相關術語：弧度

表示方法

角通常用三個字母表示：兩條邊上的點的字母寫在兩旁，頂點上的字母寫在中間。圖中的角用∠AOB表示。但若在不會產生混淆的情形下，也會直接用頂點的字母表示，例如角∠O。

在數學式中，一般會用希臘字母（α,β,γ,θ,φ, ...）表示角的大小。為避免混淆，符號π一般不用來表示角度。

角的測量

以角的端點為圓心做圓弧。由於圓弧的半徑和弧長成正比，而角是長度的比例，所以圓的大小不會影響角的測量。

• 弧度：用角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的半徑，一般記作rad。弧度是國際單位制中規定的角的度量，但卻不是中國法定計量單位，角度則是角在中國的法定計量單位。此外，弧度在數學及三角學中有廣泛的套用。
• 角度：由角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的周長再乘以360的結果，一般用°來標記，讀作“度”。一度可以繼續分為60“分”或3600“秒”。角度在天文學和全球定位系統中有重要套用。
• 梯度：是角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的周長再乘以400的結果。

以下是一些其他的測量單位，對應不同的n值。

• 圈數或轉數（n=1）：是指完整旋轉一圈，依套用的不同，會簡寫為cyc、rev或rot，不過在每分鐘轉速（RPM）的單位中，只用一個字母r表示。
• 直角（n=4）：是1/4圈，是幾何原本中用的角度單位，直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。
• 時角（n=24）：）常用在天文學中，是1/24圈。此系統是用在一天一個周期的循環（例如星星的相對位置），其六十進制下的子單位稱為“時間分角”及“時間秒角”，這兩個單位和角度的角分及角秒不同，前者大小為後者的十五倍。1時角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。
• 米位（n=6000–6400）：此單位是指一個單位大約等於毫弧度的角度，有許多不同的定義，其數值從0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度約為0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公約組織的國家中，米位定義為圓的1/6400。其數值大約等於一個角度的弧長為一米，其半徑為一公里的角度（2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000）。
• 角分（n=21,600）：定義為一度的1/60，是1/21600圈，會用′表示，例如3°30′ 等於 3+30/60 度，也就是3.5度，有時也會出現小數，例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定義為在地球的大圓上一角分的弧長。
• 角秒（n=1,296,000）：定義為一角分的1/60，會用″表示，例如3°7′30″等於3 + 7/60 + 30/3600 度，或是3.125度。

角的種類

• 零角
  角度等於0°,或一條線
• 銳角
  角度大於0°且小於90°，或弧度大於0且小於{\displaystyle \pi /2}的角。
• 直角
  角度等於90°，或弧度為{\displaystyle \pi /2}的角。
• 鈍角
  角度大於90°且小於180°，或弧度大於{\displaystyle \pi /2}且小於{\displaystyle \pi }的角。
• 平角
  角度等於180°，或弧度為{\displaystyle \pi }的角。
• 優角或反角
  角度大於180°且小於360°，或弧度大於{\displaystyle \pi }且小於{\displaystyle 2\pi }的角。
• 周角
  角度等於360°，或弧度為{\displaystyle 2\pi }的角。

角的組合

有三種特殊角的組合，其度數和均為特殊的值：

• 餘角：當兩個角的度數之和等於90°，即一個直角，這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成直角。在歐幾里得幾何中，非直角的兩角即互為餘角。

• 若角A和B互為餘角，以下的數學式會成立：
• （一角的正切等於其餘角的餘切，一角的正割等於其餘角的餘割）

• 補角：當兩個角的度數之和等於180°，即一個平角，這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角，例如平行四邊形中，任兩鄰角為互補角。圓內接四邊形的對角也是互補角。

• 若點P為圓O外的一點，而過點P作圓的切線，切點分別在點T和點Q，則∠TPQ和∠TOQ為互補角。
• 兩互補角的正弦相等，其餘弦及正切（若有定義義）大小相等，但符號異號。
• 在歐幾里得幾何中，三角形兩角的和為第三角的補角。

黎曼幾何中

在黎曼幾何中，利用度量張量來定義二條切線之間的夾角，其中U及V是切線向量，g_ij是度量張量G的分量。

天文學中

以地理的觀點，地球上任何一個位置都可以用地理座標系統來表示，此系統標示位置的經度及緯度，兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示，經度是以格林威治子午線為參考基準，而緯度是以赤道為參考基準。

在天文學中，天球的一點可以用任何一種天球坐標系統來表示，不過其基準則因坐標系統不同而不同。天文學量測二顆星星的角距離時，會假想分別有二顆星星分別和地球連成的直線，再量測這二條直線的夾角，即為角距離。

天文學家也會用角直徑量測一物體的表觀大小。例如滿月的角直徑約為0.5°。小角公式可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。