相交弦定理

相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），數學術語，是指圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等或經過圓內一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩線段的積相等。

基本介紹

• 中文名：相交弦定理
• 外文名：Intersecting Chords Theorem
• 類別：定理
• 適用範圍：數學

說明

幾何語言：

若圓內任意弦AB、弦CD交於點P

則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

相關定理

相交弦定理為圓冪定理之一，其他兩條定理為：

切割線定理、切線長定理

證明

證明：連結AC，BD

由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.）

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

註：其逆定理可作為證明圓的內接四邊形的方法. P點若選在圓內任意一點更具一般性。其逆定理也可用於證明四點共圓。

比較

相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統稱為圓冪定理。一般用於求線段長度。

當P點在圓內時稱為相交弦定理，當P點在圓上時稱為切割線定理，當P點在圓外時稱為割線定理。三條定理統稱為圓冪定理。其中|OP²-R²|稱為P點對圓O的冪。（R為圓O的半徑）

推論

如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它所分直徑所成的兩條線段的比例中項。

幾何語言：

若AB是直徑，CD垂直AB於點P，

則PC²=PA·PB（相交弦定理推論）