四邊形蝴蝶定理

四邊形蝴蝶定理：若四邊形一條對角線平分另一對角線（比如此圖中的AD平分BC，不要求BC平分AD），過其交點G的兩條直線PR和QS，與四邊交於P.R.Q.S，則連線PQ與SR與被平分的對角線BC的兩個交點E.F到對角線交點G距離相等。

基本介紹

• 中文名：四邊形蝴蝶定理
• 學科：高等數學
• 證明涉及：共邊比例定理、共角比例定理
• 屬於：平面幾何

若四邊形一條對角線平分另一對角線（比如此圖中的AD平分BC，不要求BC平分AD），過其交點G的兩條直線PR和QS，與四邊交於P.R.Q.S，則連線PQ與SR與被平分的對角線BC的兩個交點E.F到對角線交點G距離相等。

證明過程中用到共邊比例定理、共角比例定理。

如圖：BG=CG,求證：EG=FG

連線CP，BS，BR，CQ

EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ * S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG/RG*QG/SG

=S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD * S△BCP/S△BCR*S△BCQ/S△BCS

=1

EG*CF=FG*BE

∵EG+BE=CF+FG

∴EG=GF