對偶元素是射影幾何的一個術語，指射影幾何中元素間的一種特殊關係。在歐氏幾何中，幾何圖形是點的軌跡，是把點作為圖形基本元素，而射影幾何認為圖形可看成是直線的包絡。直線作為點的對偶元素，也是一種基本元素，從而有了線坐標。
基本介紹
- 中文名：對偶元素
- 外文名：dual elements
- 一級學科：數理科學
- 二級學科：數學術語
- 套用：射影幾何
- 定義：射影幾何中元素間的一種特殊關係
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射影幾何
絕大多數人所熟悉的幾何學仍然是公元前300年左右古希臘Euclid建立的歐氏幾何學而射影幾何學則是得益於作畫寫生時透視聚焦方法的啟示。從十七世紀開始，幾何學家在研究投影和截面取景時的方法和結果，大大地豐富了歐氏幾何的內容，並逐漸認識到這是幾何學一個新的分支，稱之為射影幾何學。
射影幾何是研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換後，依然保持不變的圖形性質的幾何學分支學科。也叫投影幾何學，在經典幾何學中，射影幾何處於一個特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學聯繫起來。
射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平麵點之間的射影對應。
對偶元素簡介
對偶元素（dual elements）是射影幾何的一個術語。指射影幾何中元素間的一種特殊關係。在射影平面上，點與直線互為對偶元素；在三維射影空間中，點與平面互為對偶元素，直線的對偶元素仍是直線。
在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容只是關於點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。在射影平面里，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立。
對偶圖形
對偶圖形（dual figures），具有特定關係的兩個圖形。指成對偶對應的幾何圖形。射影幾何中一個圖形與把其中的各個幾何元素換成對偶元素，把其中的各個運算換成對偶運算而得到的另一個圖形間的關係。
例如，在射影平面上，把由點和直線所組成的一個圖形中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結果形成另一個圖形，這兩個圖形稱為對偶圖形。又如在三維射影空間中，把由點、直線和平面所組成的一個圖形中各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結果形成另一個圖形，這兩個圖形稱為空間中的對偶圖形。
對偶命題
對偶原理在射影幾何中有重要地位，證明一個定理的同時也就證明了它的對偶定理，因此可以事半功倍。注意：對偶原則是射影幾何所特有的，它只適用於幾何元素的結合與順序關係的命題，而不能套用於度量關係。
對偶性質
在歐氏幾何里，認為幾何圖形是點的軌跡，是把點作為圖形基本元素。射影幾何里認為圖形也可看成是直線的包括直線的包絡。作為點的對偶元素，也是一種基本元素，從而有了線坐標。
在點線的結合方程里，不同情況下可表示為點的方程或直線的方程，就是說點和直線具有同等的地位，或者說它們是完全對稱的。於是，由代數推導得出的關於點的幾何圖形的性質對於對偶的線的幾何圖形應該同樣具有；反之，關於線的幾何圖形的性質，對於對偶的點的圖形也成立，這就是它們間的代數對偶性。
射影幾何的對偶原則導致了一種利用對偶性完成命題證明的方法，即當我們不容易直接解決某命題時，可以考慮它的對偶命題，當對偶命題得到解決時，原命題也就解決了。這種方法與證明逆否命題來完成原命題的證明是類似的。
