對偶向量族(dual family of vectors)是分別來自賦范線性空間與其共軛空間的滿足一定條件的一對子集。
基本介紹
- 中文名：對偶向量族
- 外文名：dual family of vectors
- 領域：數學
- 學科：線性代數
- 性質：子集
- 空間：賦范線性空間、共軛空間
概念,線性空間,賦范線性空間,共軛空間,
概念
對偶向量族(dual family of vectors)是分別來自賦范線性空間與其共軛空間的滿足一定條件的一對子集。設X是賦范線性空間，X為其共軛空間。如果X的子集{xα|α∈Λ}和X的子集{fα|α∈Λ}滿足條件fα(xβ)=δαβ，這裡：
線性空間
亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) α+β=β+α，對任意α，β∈V。
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V。
3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元。
4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α。
5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V)。
6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)。
7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα。
8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣.再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)構成的集合P對於加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)與純量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
賦范線性空間
賦范線性空間是一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間，X上滿足下列條件的實值函式p(·)稱為X上的範數：
1.p(x)≥0(x∈X)；p(x)=0⇔x=0。
2.p(αx)=|α|p(x)(α為數，x∈X)。
3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X)。
對x∈X，p(x)稱為x的範數，通常記為‖x‖。賦有範數的線性空間(X，‖·‖)稱為賦范線性空間，簡稱賦范空間。
共軛空間
設X為線性賦范空間，則X上的一切連續線性泛函的全體，按以下規定的範數：
設X為線性賦范空間，則X*為巴拿赫空間。如果X*是可分的，則X也是可分的。
Lp[a，b] (1≤p<+∞;a，b∈R)的共軛空間為Lq[a，b]，即：
