自對偶命題

自對偶命題

自對偶命題(self-dual propositions )是一種特殊的對偶命題,即意義一致的兩個命題。例如,“三點及其兩兩連線組成一個三點形”與“三線及其兩兩交點組成一個三線形”,代表同一事實,就是自對偶命題,“一點在一直線上”與“一直線通過一點”也是自對偶命題。

基本介紹

  • 中文名:自對偶命題
  • 外文名:self-dual propositions
  • 所屬學科:高等幾何(射影幾何學)
  • 相關概念:對偶命題、對偶原理等
定義介紹,相關概念,

定義介紹

自對偶命題(self-dual propositions )是一種特殊的對偶命題,即意義一致的兩個命題。例如,“三點及其兩兩連線組成一個三點形”與“三線及其兩兩交點組成一個三線形”,代表同一事實,就是自對偶命題,“一點在一直線上”與“一直線通過一點”也是自對偶命題。

相關概念

射影平面與歐氏平面的結構是不同的,例如在歐氏平面上兩條直線不一定相交,而在射影平面上,兩條直線必交於一點。因此射影平面具有一些特殊的屬性,對偶原理就是射影平面的一個重要特性。在射影平面上,關於點與直線的結合性:“一點在一條直線上”與“一條直線通過一點”, 後一句可以看成是把前一句中的“點”改 為“直 線”、“直線”改為“點”、......在....上”改成“.....通過...”所得到的,我們把它們兩者叫做互對偶的。下面介紹射影平面上的對偶原則:
對於對偶原則,我們將此概括成以下幾點。
(1) 對偶元素:“點”與“直線”叫做射影平面上的對偶元素。
(2) 對偶關係:“......在.......上”與“.....通過...”是對偶關係;“連線”與“相交”是對偶關係。
(3) 對偶命題:在一個命題中,將對偶元素互換,對偶關係也同時互換而得到的新命題叫做原命題的對偶命題。若一命題與它的對偶命題本質上相同,則把它叫做自對偶命題
(4) 對偶圖形:將一圖形中的元素換成它的對偶元素,關係換成對偶關係,而作出的新圖形叫做原圖形的對偶圖形。若一圖形與它的對偶圖形相同,則把它叫做自對偶圖形
(5) 對偶原理: 在射影幾何里,如果一個命題成立,那么它的對偶命題一定成立。
由對偶原理知,互為對偶的兩個射影命題,只要一個正確,另一個也是正確的,所以只要證明其中一個就行了。往往一個命題難以理解時,它的對偶命題卻容易為直覺所接受。因而,兩個對偶的射影命題,只需證明其中容易證明的一個,這樣可以達到事半功倍的效果。在歐幾里得幾何里,“平面上任何兩個不同點可以確定一條直線”,而對偶命題“平面上任何兩條不同直線交於一點”則不成立。因為兩條平行直線沒有交點,所以對偶原理在歐幾里得幾何里不成立。可是也有一些歐幾里得定理常常是正確的。當然,這時必須獨立證明。所以在歐幾里得幾何里,對偶原則可以作為探求定理的工具

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