對偶命題

對偶命題是具有特定關係的兩個命題，指成對偶對應的幾何命題。射影幾何中一個命題與把其中的各個幾何元素換成對偶元素，把其中的各個運算換成對偶運算而得到的另一個命題間的關係。例如，在射影平面上，設有點、直線及其相互接合關係所構成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結果形成另一個命題，這兩個命題稱為平面上的對偶命題。又如，在三維射影空間中，設有點、直線、平面及其相互接合關係所構成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結果形成另一個命題，則這兩個命題稱為三維空間中的對偶命題。

基本介紹

• 中文名：對偶命題
• 外文名：dual propositions
• 所屬學科：數學
• 定義：指成對偶對應的幾何命題
• 相關概念：對偶原則、射影平面、對偶元素等

定義

在射影平面里設有點，直線及其相互結合和順序關係(此處的順序關係指共線四點或共點四線的分離關係)所組成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各作圖改為它的對偶作圖，其結果形成另一個命題，這兩個命題叫做平面對偶命題。

對偶原則 在射影平面里，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立。

關於對偶原則的嚴格證明，要從射影任何的公理系統出發，或從坐標方程出發也可說明其真實性。

命題A的平面對偶命題記以 。

例1 A：通過不同兩點必有一直線。

：兩不同直線必有一交點。

例2 A：若兩個完全四點形的五對對應邊的交點在同一直線上，則其第六對對應邊的交點也在此直線上，其四對對應頂點的連線必共點。

：若兩個完全四線形的五對對應頂點連線通過同一點，則其第六對對應頂點的連線也通過此點，其四對對應邊交點必共線。

利用德薩格定理及逆(對偶)定理容易得到證明。

對偶原理在射影幾何中有重要地位，證明一個定理的同時也就證明了它的對偶定理，因此可以事半功倍。

注意：對偶原則是射影幾何所特有的，它只適用於幾何元素的結合與順序關係的命題，而不能套用於度量關係。

詳細介紹

平面射影幾何是研究射影平面上按照點與直線的接合關係能夠表達出來的全部命題，在射影平面上，只涉及到點與直線的接合關係的命題稱為射影命題。

定義1 屬於一個平面的所有點的集合叫做點場，這平面叫做點場的底；屬於一個平面的所有直線的集合叫做線場，這平面叫做線場的底。

定義2 平面上屬於一直線 的所有點 的集合叫做點列，記作 ，直線 稱點列的底；平面上屬於一點 的所有直線 的集合叫做線束，記作 ，點 稱線束的中心。

定義3 不共線的三點與其每兩點的連線所構成的圖形叫做三點形，每一點叫做頂點，每兩點的連線叫做邊；不共點的三直線與其每兩線的交點所構成的圖形叫做三線形，每一直線叫做邊，每兩直線的交點叫做頂點。

設在射影平面上給了由點和直線按照某種接合關係組成的一個圖形，把這圖形里的點換成直線，直線換成點，並保留接合關係，我們得到另一個圖形，這後一個圖形稱為前一個圖形的對偶圖形。點和直線稱為射影平面上的對偶元素，顯然，圖形的對倡關係是對稱的，例如點場和線場，點列和線束，三點形和三線形都是互相對偶的圖形。

一個圖形可以是它自己的對偶圖形，這種圖形稱為自對偶圖形。如三點形和三線形都含有不共線的三個點與兩兩相連的三條直線，它們是同一圖形，所以三點形（或三線形）是自對偶圖形。

把一個射影命題里的點換成直線，直線換成點，並保留接合關係，我們得到另一個命題，這後一個命題稱為前一個命題的對偶命題。顯然，命題的對偶關係也是對稱的，在對偶命題的敘述中，自對偶圖形是不必改變敘述的，一個命題可以是它自己的對偶命題，這種命題稱為自對偶命題，例如“一“存在著一點和一直線不相接合”就是一個自對偶命題。

舉例

對偶命題可舉例如下：

點幾何學：

1)射影平面上點的原始坐標是非零三數組 ，成比例的三數組表示同一點，不成比例的三數組表示不同的點。

2)在點坐標 里，直線 有方程 。

3)不同兩點 和 決定唯一的連線 。

4)三點 共線的充要條件是 ，即存在不全為零的三個數 使得

線幾何學：

1)射影平面上直線的原始坐標是非零三數組 ，成比例的三數組表示同一直線，不成比例的三數組表示不同的直線。

2)線上坐標 里，點 有方程 。

3)不同兩直線 和 決定唯一的交點。

4)三直線 共點的充要條件是 即存在不全為零的三個數 ，使得