帕普斯定理

帕普斯定理

帕普斯(Pappus)定理,指的是直線l1上依次有點A,B,C,直線l2上依次有點D,E,F,設AE,BD交於P,AF,DC交於Q,BF,EC交於R,則P,Q,R共線。

設U,V,W,X,Y和Z為平面上六條直線。如果: (1)U與V的交點,X與W的交點,Y與Z的交點共線,且 (2)U與Z的交點,X與V的交點,Y與W的交點共線, 則(3)U與W的交點,X與Z的交點,Y與V的交點共線。這個定理叫做帕普斯定理。

基本介紹

  • 中文名:帕普斯定理
  • 外文名:Pappus's theorem
  • 提出者帕普斯
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:計算機, 繪圖,幾何
  • 適用領域範圍:射影幾何
定理定義,驗證推導,對偶命題,定理推廣,

定理定義

帕普斯(Pappus)定理:如圖,直線l1上依次有點A,B,C,直線l2上依次有點D,E,F,設AE,BD交於P,AF,DC交於Q,BF,EC交於R,則P,Q,R共線。

驗證推導

證明方法1
證明方法1證明方法1
(證明過程見右圖)
證明方法2
利用布列安桑定理及其逆定理證明:
如圖,一直線上三點A、B、C,另一直線上三點D、E、F,AE∩BD=M,AF∩DC=N,BF∩EC=O
證明方法2證明方法2
延長MO至P,由布列安桑逆定理知六邊形PCBMEF內切圓錐曲線,由凹六邊形AMDFPC及其內切圓錐曲線的布列安桑定理知對角線AF∩DC∩MP=N,則M、N、O共線,帕普斯定理得證。

對偶命題

由兩點A,B各出發三條射線,A1,A2,A3;B1,B2,B3,設過A1,B2交點;A2,B1交點的直線為C1,過A2,B3交點;A3,B2交點的直線為C2,過A1,B3交點;A3,B1交點的直線為C3,則C1,C2,C3共點。
帕普斯定理
該對偶命題仍然可以利用帕普斯定理(幾何變換形態)及笛沙格定理(逆)證明
此定理在圓中依然成立,圓中以任一直徑為界線,直徑兩側分別取A1,A2,A3;B1,B2,B3。連線A1,B2;A1,B3。A2,B1;A2,B3。A3,B1;A3,B2.則A1B2,A2B1交於C1;A1B3,A3B1交於C2;A2B3,A3B2交於C3。且C1,C2,C3共線。
射影幾何中的對偶原理(此處體現為點線互換)可知,它與帕普斯(Pappus)定理是等價的。
該對偶命題是布利安桑定理的特例。

定理推廣

明顯的,當二次曲線上的帕斯卡定理中二次曲線退化為兩條相交直線(在射影平面中,我們認為平行直線相交於無窮遠點),即為帕普斯(Pappus)定理。

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