無窮遠點

兩條平行的直線可以看作相交在無窮遠點，所有的平行直線都交於同一個無窮遠點。在球極投影中複平面上與復球面北極對應的點是無窮遠點。

基本介紹

• 中文名：無窮遠點
• 外文名：point at infinity
• 簡介：直線的端點
• 確定無窮遠點：任何兩點都確定了一個無窮遠點

定義

兩條或者更多條直線共點，意思是以下兩種情況之一：或者存在一個點，所有直線都通過它；或者它們兩兩平行。這樣，在初等幾何中，並不定義無窮遠點，而只把交於無窮遠點作為平行的另一種說法。這樣，如果P是直線AB上的無窮遠點，那么PA/PB=1。在初等幾何中，有很多命題需要考慮平行這一特例，使用無窮遠點，便避免了這些問題。

在球極投影中複平面上與復球面北極對應的點是無窮遠點。

證明

平行線交於無窮遠點的證明

O是光源，AB是豎桿，CD是地平線，OR//CD，M是AB上一動點，M的影子是N。

當M逐漸升高，N就越來越遠，當M非常接近R時N就遠得難以想像。

根據 可知，此時N無窮遠。

N是OM與CD的交點，可OR平行於CD，所以OR與CD交於無窮遠點。

這不與OR與CD不相交矛盾，無窮遠點是射影空間的“想像中的點”，它代表“方向”。在現實世界或是一般數學世界中根本找不到或認為沒有這個點。

直線只有一個無窮遠點的證明

（在前面的條件上加上OS//AB）

前面只說到M與R重合，如果M繼續上升，N到CD的左邊，並且，隨著M的升高而越來越接近S。當M下移，穿破地表繼續下降時，N從右邊越來越接近S。

這樣，當M上升到無窮遠或下降到無窮遠時，N就到了S，由於一個N顯然只對應一個M，所以“天上”“地下”“兩個”無窮遠點是同一個。

直線與圓

直線居然是封閉曲線，兩點確定一條直線，但三點才確定一個圓。

事實上，由於無窮遠點是“方向”，所以，直線正是過這兩點及對應無窮遠點的“圓”。