無窮遠奇點

簡介

無窮遠奇點是平面奇點的一種推廣，用於研究平面系統的軌線在平面上無窮遠處的性態。

龐加萊(Poincare,(J.-)H.)把(x,y)平面上的系統

的軌線投影到與(x,y)平面相切於原點的一個單位球面S上，後人就稱此球面S為龐加萊球面。

如下圖取坐標系。

在(X,Y,Z)空間中，(x,y)平面上的點M可表示為(x,y,1)。取球心投影，即連結M與球心(0,0,0)，其連線與球面S交於兩點，取定下半球面的一點M₁(X,Y,Z)。這樣就把(x,y)平面上的點一一對應到龐加萊下半球面上，(x,y)平面上的無窮遠即對應於S的赤道：X²+Y²=1，Z=0。

為便於寫出微分方程研究Z=0上各點鄰近的性態，再把下半球面上的點投影到一個適當的鉛直平面上。

例如對不是y軸方向的無窮遠點，可投影到平面X=1上，

與之相交於點M₂，在X=1上取其與球面的切點為坐標原點，u軸與Y軸平行，z軸與Z軸平行，M₂的坐標為(u,z)。易推出(x,y)與(u,z)的變換關係為

或

。對y軸方向的無窮遠點，則投影到平面Y=1，在其上類似地引進坐標(v,z)，則易得

或

。

在(u,z)坐標下，

變為

z≠0時，此方程組在X=1平面上的軌線為(x,y)平面上

的軌線的投影。而z=0恰好對應於(x,y)面上的無窮元。為消去分母上的z，設P，Q為x，y的多項式，則可將上述方程組寫成

其中n為非負整數，使

，

為u，z的多項式且不同時含有因子z。做變換dτ=dt/zⁿ，則化得

它在z=0上的奇點u=u₀，z=0稱為系統的一個無窮遠奇點。

通過對

的奇點(u₀,0)的分析，搞清楚了它的鄰域內的軌線的性態，則它的兩個半鄰域就分別代表了

在(x,y)平面上y=u₀x方向上的兩端無窮遠處的軌線性態。