射影態射

射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形),為方便起見引入無窮遠點的概念,即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點,兩條直線平行就是相交於無窮遠點,所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。

設P(E)為由向量空間E導出的射影空間。對E的任一向量子空間E′,在典範映射π下,E′-{0}的象叫做射影線性簇,射影簇或射影子空間,並記為P(E′)。射影態射(projective morphism)是射影簇的推廣及相對化。

基本介紹

  • 中文名:射影態射
  • 外文名:projective morphism
  • 領域:數學
  • 性質:射影簇的推廣及相對化
  • 空間:射影空間
  • 對象:概形
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概念

射影態射(projective morphism)是射影簇的推廣及相對化。設S是一個概形,Z上射影空間:
PZ=Proj Z[T0,T1,…,Tn]
用S→Spec Z做基擴張後可以得到S上的射影空間PS=PZ×Spec ZS。若態射f:X→S可以分解為一個閉浸入X→PS以及投影PS→S的複合,則稱f是射影態射,X稱為射影S概形。直觀地看,射影S概形就是S上某個射影空間的閉子概形。諾特概形的射影態射一定是正常態射。射影態射是一個整體概念,即射影態射f:X→S在任一點s∈S上的纖維f(s)都是剩餘域k(s)上的射影概形;但反之則不對。當S=Spec A是仿射概形時,射影S概形一定是某個分次A代數的齊次譜。當S是一般概形時,一定存在分次OS代數層R,使得射影S概形同構於Proj R。

向量空間

設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間:
——記為加法的合成法則,
——記為乘法的作用法則,即從K×E到E中的映射,
這兩個法則滿足下列條件:
a)賦以加法的集合E是交換群;
b) 對K的任一元素偶(α,β),以及對E的任一元素x,
α(βx)=(αβ)x;
c) 對E的任一向量x,1x=x,其中1表示體K的單位元素;
d)對K的任一元素偶(α,β),以及對E的任一元素偶(x,y),
(α+β)x=αx+βx
α(x+y)=αx+αy.
當體K不再假定為交換的時,滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間。
如果條件α(βx)=(αβ)x換為α(βx)=(βα)x,則稱E為K上的右向量空間。

射影空間

射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形),為方便起見引入無窮遠點的概念,即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點,兩條直線平行就是相交於無窮遠點,所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。這種構造方法還可以推廣到高維空間,建立n維(實)射影空間PR。在n維射影空間中常採用齊次坐標(X0∶X1∶…∶Xn),其中X0,X1,…,Xn不全為0;若a≠0,則(aX0∶aX1∶…∶aXn)與(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一個點。因此n維(實)射影空間同構於(R-{0})/R。進一步的研究表明PR是緊緻解析流形。若令Ui(0≤i≤n)為PR中坐標Xi≠0的點全體,則UiR,且U0,U1,…,Un組成PR的一個開覆蓋。上述構造方法可以推廣到任意體K上,建立K上的n維射影空間PK。在概形理論中,還將射影空間建立在整數環Z上,即建立射影概形PZ。由此對任意概形X可以建立PX,它是X和PZ(在Spec Z上)的纖維積。特別地,若X=Spec K(K為域),則PX=PnK
由於射影空間的性質非常豐富難以全面列舉,僅舉數例如下:
1.PR同胚於圓,PC可看做添上無窮遠點的複平面,同胚於球面.
2.PR是單側曲面,可以同胚地嵌入四維空間R,但不能同胚地嵌入三維空間R,PC是代數極小曲面.
3.PC是克勒流形,它的閉解析子空間都是代數的.
4.對任意域k,Pk齊性空間,其切叢由整體向量場生成,其自同構群為射影群PSL(n+1,k),其皮卡群Pic(Pk)Z。

射影簇

設P(E)為由向量空間E導出的射影空間。對E的任一向量子空間E′,在典範映射π下,E′-{0}的象叫做射影線性簇,射影簇或射影子空間,並記為P(E′)。

概形

概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地,概形(X,OX)是一個環空間,其拓撲空間X有一個開覆蓋{Xi}i∈I,使得(Xi,OX|Xi)同構於仿射概形Spec Γ(Xi,OX)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{Xi},使得每個仿射概形都是諾特概形既約概形正規概形正則概形,則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質,就是說,只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質,這個概形就具有此性質,而且任意一個仿射開子概形都有此性質.若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並),則稱此概形為連通的或不可約的。
在研究概形的性質或有關的概念時,往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f:X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形,則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後,可以得到一個S′概形XS′=X×SS′,稱為S概形X的基擴張.與S概形相關的概念稱為相對概念,以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f:X→S密切相關.不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如,設f:X→S是一個態射,若對角浸入X→X×SX是閉態射,則稱f是分離態射;若存在S的一個仿射開覆蓋{Ui}={Spec Bi},使得每個f(Ui)都有一個有限仿射開覆蓋{Vij}={Spec Aij},並且Aij都是有限生成Bi代數,則稱f是有限型的;若f(Ui)=Spec Ai,Ai都是有限生成Bi模,則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。

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