皮卡概形

皮卡概形

皮卡概形是與射影光滑代數簇相關聯的一個群概形。皮卡概形是光滑代數簇X的皮卡簇。

基本介紹

  • 中文名:皮卡概形
  • 外文名:Picard scheme
  • 適用範圍:數理科學
簡介,性質,

簡介

皮卡概形是光滑代數簇X的皮卡簇𝕭(X)的概念在概形理論框架內的自然推廣。
為了對任意的S概形X定義皮卡概形。先要考慮概形S上的概形的範疇Sch/S里的相對皮卡函子(relative Picard functor)
。這個函子在S概形S'上的值是一個群
這裡
是基變換態射,
是在嚴格平坦擬緊態射的格羅滕迪克拓撲
里與預層
相關聯的層,
表示標準的乘法群層。如果皮卡函子
是在Sch/S上可表示的,則表示它的 S 概形被稱為 S 概形的相對皮卡概形(relative Picard scheme),記為
。如果 X 是某個域 k 上的代數概形,k有一個有理k點,則對任意 k 概形 S'有
特別地,X/k(k)=Pic(X)可被等同於
的 k 有理點的群
(如果這個群存在的話)。

性質

如果f :X → S是具有幾何整纖維的射影態射,則概形
存在而且是局部有限可表示的可分群S概形。
如果S=Spec(k),則
的單位連通分支
是一個代數 k 概形,而且對應的約化 k 概形
正式皮卡簇
。概形
的局部環里的冪零元給出了皮卡概形的許多附加的信息,而且能解釋在特徵數 p>0 的域上的代數幾何里的各種“病態”。另一方面,在特徵數0定域上概形
總是約化的。當 F 是光滑代數曲面且
時已經知道
是一種約化概形。
對任何有
的真平坦態射f :X → S(當基S為諾特時,它是有限可表示的),函子
對於任何基變換態射
是 S 上的代數空間。特別地,當基域 S 是局部阿廷環的譜時,函子
是可表示的。

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