齊性空間

齊性空間，又稱齊性流形，是容有可遷變換群的微分流形。齊性空間理論與李群論有極為密切的聯繫。在幾何中出現的許多重要流形都是齊性空間。齊性空間在現代數學的許多分支如李群無限維表示論、調和分析、複變函數、數論和代數幾何等方面有廣泛的套用。

基本介紹

• 中文名：齊性空間
• 外文名：homogeneous space
• 別稱：齊性流形
• 領域：數學
• 含義：容有可遷變換群的微分流形

理論介紹

在數學，特別是李群、代數群與拓撲群的理論中，關於群G的一個齊性空間是一個非空流形或拓撲空間X，G可傳遞性作用在X上，G中的元素稱之為X的對稱。一個特例是群G就是空間X的自同構群，這裡自同構群可以是等矩同構群、微分同胚群或是同胚群。在這些例子中，如果直覺想成X於任何地方局部看起來一樣，則X是齊性的。像是等矩同構（剛體幾何）、微分同胚（微分幾何）或是同胚（拓撲）。一些作者要求G的作用是有效的，不過本文並不要求這樣。從而X上存在可以想像為保持X上相同“幾何結構”的一個群作用，使X成為一個單G-軌道。

定義

設X是一個非空集合，G是一個群。如果存在G在X上一個作用，則X稱為一個G-空間。注意G通過自同構自動作用在這個集合上。如果X還額外屬於某一個範疇，則要求G中元素的作用是這個範疇中的自同構。從而由G在X上產生的映射保持結構。一個齊性空間是一個G作用傳遞的G空間。

簡明地說，如果X是範疇C中一個對象，則一個G-空間結構是G到範疇C中對象X的自同構群一個同態：

若是承載集合X的一個傳遞的、對稱群，則二元組定義了一個齊性空間。

例子

例如，若X是一個拓撲空間，則要求群元素在X上的作用是自同胚。G-空間的結構是到X自同胚群的一個群同態

類似地，如果X是一個微分流形，則群元素是微分同胚。G-空間結構是到X微分同胚群的一個群同態

陪集定理

一般地，如果X是一個齊性空間，而是X中某一給定點的穩定子（選取一個原點），X中的點對應於左陪集。

選取不同的原點一般將得到商去一個不同子群，它與相差一個的內自同構。準確地，

這裡是中任何元素使得。注意內自同構與的選取無關，只取決與模去。

如果在X上的作用連續，則是的一個閉子群。特別地，如果是一個李群，則由嘉當定理是一個閉李子群。從而是一個光滑流形，並且X帶有與這個群作用相容惟一的光滑結構。

如果是恆同子群，則X是一個主齊性空間。

準齊性質

準齊性向量空間

準齊性向量空間概念由佐藤乾夫提出。

它是帶有一個代數群G作用的有限維向量空間X，使得存在G的一個軌道在扎里斯基拓撲下是開集（從而稠密）。一個例子是作用在一維空間空間上。

這個定義比它最初出現時更加嚴格：這樣的空間具有不尋常的性質，不可約準齊性向量空間在相差一個稱之為“castling”的轉換下存在一個分類。

物理原理

凡用到廣義相對論的宇宙學都會使用比安基分類系統。相對論中的齊性空間代表某種宇宙模型的背景度量的空間部分；例如弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度量的三個案例可以用比安基（平坦），（開），（平坦或開）與（閉）型子集來代表，而Mixmaster universe代表一個比安基IX型宇宙的各向異性例子。

一個N維齊性空間允許一個由基靈向量場組成的集合。三維時，總共給出了六個線性無關的基靈向量場；齊性3-空間可以使用這些向量場的線性組合，來尋找在任何地方都非零的基靈向量場，

這裡為“結構常數”，是一個常秩-3張量，兩個下指標反對稱，表示共變微分運算元。在一個平坦各向同性宇宙情形，可能有（I型），但在閉FLRW宇宙情形，這裡是列維-奇維塔符號。