愛爾蘭根綱領(Erlanger Programme) 是菲利克斯·克萊因於1872年發表一個深具影響的研究綱領，題為Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen（新幾何研究上比較的觀點），由於克萊因那個時候在愛爾蘭根 而得名。該綱領建議了對於那個時候的幾何問題的一種新的解決辦法。
基本介紹
- 中文名：愛爾蘭根綱領
- 外文名：Erlanger Programme
- 作者：菲利克斯·克萊因
- 時間：1872
19世紀幾何中的問題,齊性空間,例子:仿射幾何,在後來的工作上的影響,從愛爾蘭根綱領的抽象的回歸,克萊因幾何的推廣,
19世紀幾何中的問題
有一個'幾何'還是很多個？自歐幾里德以來，幾何意味著二維(平面幾何)或者三維(立體幾何)歐氏空間的幾何。在19世紀上半葉，有了一些發展使得這個景象變得複雜了。數學套用要求有四維或者更高維的幾何；對傳統歐氏幾何的基礎的審視已經揭示出平行公理和其他公理的獨立性，而且非歐幾何已經誕生；而在射影幾何中，新的'點'(無窮遠點，有複數坐標的點)已經被引入。
用抽象術語來說，這個解決辦法是使用對稱性作為根本的原則，並且從一開始就陳述不同的幾何可以共存，因為它們處理不同類型的命題和不同類型的對稱性和變換下的不變數。仿射幾何和射影幾何的區別就在於諸如平行這種仿射不變數的概念是前者的恰當主題，而對後者來說卻不是主要概念。然後，通過從各個幾何中抽象出基礎的對稱群，它們之間的關係可以在群的級別重新建立。因為仿射幾何的群是射影幾何的群的子群，所有射影幾何的概念不變數先驗的在仿射幾何中有意義；但是反過來不行。如果你包含更多對稱性進來，你就有一個更強的理論，但更少的概念和定理(但會更深刻和一般化)。
齊性空間
換而言之， 各種"傳統空間"是齊性空間；但是不是對於一個唯一確定的群。改變群就改變了相應的幾何語言。
在今天的語言中，經典幾何中考慮的群都是很著名的李群。特定的關係用技術化的語言很容易描述。
例子:仿射幾何
例如n維射影幾何的群就是n維射影空間的對稱群(n+1階矩陣群,取和標量矩陣的商)。該仿射群是保持所選的無窮遠超平面不變(映射集合到自身，不是固定每一點)的子群。這個子群有一個已知的結構(n階矩陣群和平移子群的準直積)。這個表述告訴我們什麼性質是'仿射的'。用歐氏平面幾何術語，平行就是:仿射變換總是將一個平行四邊形變成另一個平行四邊形。而圓不是仿射地，因為仿射剪下可以把圓變成橢圓。
要精確的解釋仿射和歐氏幾何之間的關係，我們要在仿射群中點出歐氏幾何的群。歐氏群實際上是(採用前面仿射群的表述)正交(旋轉和反射)群和平移群的準直積。
在後來的工作上的影響
愛爾蘭根綱領的長期效應可以在純數學的很多方面顯現出來(例如，參看相似中隱含的使用);而變換的思想和用對稱群綜合的思想當然也已成為物理學中的標準做法。
從愛爾蘭根綱領的抽象的回歸
一個例子: 可定向 (也就是說，反射是除外的)橢圓幾何 (也就是,把n球面相對點等同的曲面)和可定向 球面幾何 (同樣的非歐幾何，但是相對的點沒有等同起來)有同構的自同構群，偶數n的SO(n+1)。這兩個看起來不同。但是事實上，這兩個幾何緊密相關，以一種可以精確描述的方式。
更多值得注意的例子產生於物理學中。
O(n,1)/\mathbb{Z}_2,
正確時間的洛倫茲群，對於n ≥ 3的情況。但是這些顯然是不同的幾何。這裡，有些有趣的結果從物理學中進來。已經證明這三個幾何中的任何一個中的物理模型是對於某些模型對偶的。
還有, n維反de Sitter空間和有"洛倫茲"特徵數的(n−1)維共形空間（conformal space）(和有"歐幾里得"特徵數的共形空間不同，那種和逆幾何相同，對於3維以上情況)有同構的自同構群，但是不同的幾何。再次，在物理中有一些在兩個空間中對偶的模型。更多的細節參看AdS/CFT。
所以，在和物理中的對偶性的關係中，愛爾蘭根綱領還是可以視為相當豐富的。
