弗蘭登塔爾

現實數學教育與一位荷蘭數學家的名字——弗蘭登塔爾(H.Freudenthal,1905-1990)緊密聯繫在一起。弗蘭登塔爾是20世紀最偉大，最有影響的數學教育家。現實數學教育就是指由弗蘭登塔爾領銜的荷蘭數學教育研究集體在近半個世紀的時間裡豐富，發展和完善起來的新型數學教育。弗蘭登塔爾指導，推動和親身參與了荷蘭的數學教育改革實踐，並對20世紀國際數學課程的改革與發展作出重大貢獻。我國正在進行的新一輪數學課程改革也受到了弗蘭登塔爾現實數學教育思想的影響和啟發。

基本介紹

• 中文名：弗蘭登塔爾
• 國籍：荷蘭
• 職業：數學家
• 代表作品：《作為教育任務的數學》

弗蘭登塔爾其人

弗蘭登塔爾是著名數學家布勞威的學生.他首先以代數拓撲學和泛函分析研究方面的傑出工作確立了其作為國際著名數學家的地位,曾任荷蘭數學會的兩屆主席.作為著名的數學家,弗蘭登塔爾非常關注教育問題,他很早就把學習和教學本身作為自己思考和研究的對象.這一點,弗蘭登塔爾與其它人有所不同,其它高水平的科學家開始關注和投入研究教育問題時往往是在他們年老之後,而弗蘭登塔爾被教育問題所吸引從很早就開始了.他本人對此有一個非常簡單的解釋:我一生都是做教師,之所以從很早就開始思考教育方面的問題, 是為了把教師這一行做好.早在1936年,弗蘭登塔爾31歲的時候就在荷蘭組織了著名的"數學教育研究小組"(WVO),成為荷蘭數學教育研究的領頭人.那時,這個小組每個周末都聚集在弗蘭登塔爾家裡討論與數學教育發展關係密切的問題.二戰期間,由於戰爭的原因,研究小組的活動無法進行,但弗蘭登塔爾仍沒有停頓自己的研究工作.他利用在家中獨自教育兩個兒子的機會,系統閱讀了到那時為止的所有關於算術,比例等與國小數學內容有關的出版物,其中包括數學課本,教學參考書, 以及一些重要的關於算術教育的教材教法理論書籍等等.即使被關在納粹集中營里,他的閱讀和研究也沒有停止.弗蘭登塔爾的閱讀不僅僅是一般的"讀",而是運用他關於數學和數學史方面的知識把所有這些出版物都"過濾"了一遍.在"過濾"的基礎上結合自己對學生學習過程的觀察,他在那個時期就已經得出結論:兒童不可能通過演繹法學會新的數學知識.對傳統的數學教育目的提出了置疑.1945年,二戰剛剛結束,WVO就舉行了戰後的第一次研討會,弗蘭登塔爾在這次會上作了題為"思維的教育"的報告,闡述了對長期占據他心靈的算術教育問題的看法:"……無論是誰,無論是教閱讀,寫作,外語,還是算術或數學或物理,總之無論教什麼科目,教師儘管可以不知曉如何才能教的準確,但都應當知道他們正在教的是什麼.思維不是一種技能,那到底什麼是思維呢 我雖然常常用很多時間深入考慮這個問題,但每當我試圖得出一些結果,仿佛要抓住這個奇異的思維的時候,卻往往是無功而返,我發現自己只是繞著它轉圈子,或者說繞著我所觀察的世界兜圈子,思維只是在我的身邊飛舞,而我卻抓不住它.漸漸的,我從中悟出一些道理,考慮思維問題,應該採用更為實踐的目光,而不是以過於理論的方式.……."

弗蘭登塔爾在長期的數學教育研究實踐中,逐步形成了適應兒童心理發展,符合教育規律,經得起實踐檢驗,並具有自己獨特風格的數學教育思想體系.他積累的研究成果和實踐經驗,不僅改變了荷蘭數學教育的面貌,也通過世界範圍的相互交流,極大的推動了國際數學教育研究的發展.作為具有國際聲望的著名數學教育家,他從1954年起擔任了荷蘭數學教育委員會的主席,1967年他又擔任了國際數學教育委員會(ICMI)的主席.他還是著名的《數學教育研究》(Educational Studies in Mathematics)雜誌的創始人.弗蘭登塔爾一生髮表關於數學教育的著述達幾百篇(部),他最重要的數學教育著作包括:

《作為教育任務的數學》(Mathematics as an Educational Task.1973,有中譯本),

《播種和除草》(Weeding and Sowing.1978),

《數學結構的教學法現象學》(Didactical Phenomenology of Mathematical Structures .1983)

《數學教育反思》(Revisting Mathematics Education,China Lectures.1991)等等.

在這些著作中,弗蘭登塔爾詳細論證了為什麼必須對傳統數學教育進行改革的原因;系統闡述了現實數學教育思想的理論體系;具體探討了如何按現實數學教育的觀點設計數學課程,編寫數學教材以及教學方法,師資培訓等方面的問題.他的許多結論都是在中國小課堂上經過長期實踐之後得出的.他的工作奠定了現實數學教育的理論和實踐基礎,明確了現代數學教育改革的目標和方向.

1991年,在弗蘭登塔爾先生逝世一周年的日子裡, 《數學教育反思》作為他的最後一本內容廣博的遺著出版了. 這是一部在數學教育發展史上具有承前啟後重要歷史作用的著作,弗蘭登塔爾在這本著作中結合荷蘭的數學教育改革實踐,探索了現實數學教育思想產生的背景, 追尋了現實數學教育在近半個世紀時間裡的發展歷程,對現實數學教育的思想和實踐進行了系統的總結.這是弗蘭登塔爾最重要的數學教育著作,被稱之為"後弗蘭登塔爾時代現實數學教育發展的基石". 特別是,這本書的副標題是"中國之行演講集"(China Lectures).這個副標題使我們聯想起弗蘭登塔爾1985年80高齡之際來中國訪問的情景.他那睿智的,充滿新鮮思想,並十分具有感染力的演講曾給中國同行留下十分深刻的印象.這個副標題記錄了《數學教育反思》這部重要著作的歷史足跡,是從弗蘭登塔爾1985年的中國之行開始的.

數學教育研究實踐

詳細記述弗蘭登塔爾的數學教育實踐活動是需要相當篇幅的.下面僅通過弗蘭登塔爾數學教育研究活動中的幾個實例,從不同的側面反映和揭示弗蘭登塔爾是如何從事數學教育研究活動的.他的研究實踐對從事數學課程改革的人們來說,將大有裨益.

(1)弗蘭登塔爾對"掌握學習法","教育目標分類學"的探究與質疑

"掌握學習法"和"教育目標分類學"都屬於布盧姆.

(i)弗蘭登塔爾對"教育目標分類學"的質疑和擔憂

作為多種雜誌的主編,弗蘭登塔爾最初是在來稿的參考文獻和引文中看到布盧姆名字的.那時他對布盧姆的工作並不了解,因為看的多了,就產生出了解布盧姆的願望.他希望知道布盧姆的工作到底對這些稿件產生了多大的幫助和推動.但他的研究並沒有滿足他的希望反而帶給他很多困惑.

布盧姆的"教育目標分類學"曾在70年代引起人們極大的關注,幾乎被每一本與教育有關的著作所引用. 布盧姆的"教育目標分類學"是有積極意義的,例如它促使人們關注到學生的學習不只是死記硬背,這在當時具有很大的積極意義.但這個"分類學"中隱含的矛盾和問題還是被弗蘭登塔爾探究的目光發現了.

布盧姆的"分類學"是一個包括6個範疇的層次結構.這6個範疇依次是:知識,理解,套用,分析,綜合和評價.每種知識科目的學習目標,都可以在這些層次中得到安排,並且這個結構中前面層次的目標是實現後面層次目標的條件.因此,在這個結構當中,首先是知識,然後是理解.即學生先應該"知道",然後才是"懂得". 弗蘭登塔爾從中發現了這樣一些問題:首先"教育目標分類學"缺少某些重要的東西,並且沒有這些東西的位置.例如,這6個層次不能被套用於象數學,物理這樣的學習科目,因為對這些科目至關重要的觀察,實驗和設計實驗等目標並未在上述任何層次中出現.其次, "教育目標分類學"與學習過程和學習水平等方面的問題沒有關係,不感興趣.最後,"教育目標分類學"只強調目標而沒有給出任何關於哪些是值得"教"和值得"學"的東西的任何具體刻劃.只是把教育限制在已經設定好的"目標"之中.換句話說,按照"教育目標分類學"的目標體系,首先要檢驗"教"的內容是否適合這個體系,然後再"教"那些將被這個體系檢驗的內容.而這樣的教育該怎樣進行 !

弗蘭登塔爾對"教育目標分類學"的質疑和擔憂不無道理.

(ii)弗蘭登塔爾基本否定了"掌握學習法"

再以主導著70年代中期教育潮流的"掌握學習法"為例,布盧姆在他的著作中提供許多例子說明"掌握學習法"的確是有用的,而弗蘭登塔爾已經在布盧姆的著作中發現了一些不準確之處,對"掌握學習法"的功能表示懷疑.為了進一步證明自己的懷疑,弗蘭登塔爾反過來研究了那些證明"掌握學習法"的確起作用的例證,為此他甚至在布盧姆工作過的芝加哥大學查閱過有關的未公開發表的論文原稿.他通過探究發現,布盧姆對有些文獻資料的引用是不準確的,其中遺留了許多問題未作解答.另外,布盧姆在他的工作中使用了許多數學素材,如矩陣和機率等等,弗蘭登塔爾發現布盧姆自己對這些知識的了解無論從量的和質的方面都十分有限.因此,弗蘭登塔爾認為"掌握學習法"的思想和實踐基礎都是很薄弱的.當時,荷蘭恰好有一個教學研究中心正在從事關於根據"掌握學習法"的算術教學和不使用這種方法的算術教學的比較研究.弗蘭登塔爾針對這個項目深入進行了研究.他發現該項目所提供的事實得不出關於"掌握學習法"能起作用的任何答案.綜合自己的考察與研究,弗蘭登塔爾在一篇近30頁的題為"關於教育的經驗性研究"的論文中全面闡述了自己對"掌握學習法"的分析和評價,基本上否定了這種"方法".

目前,我國有不少供中小學生使用的"練習冊""習題集""題海"都明確表示"…是按照布盧姆'掌握學習法'原則編寫的.""掌握學習法"仍在為增加中小學生課業負擔,為"重題不重智,見題不見人"的畸形發展道路推波助瀾.弗蘭登塔爾對"掌握學習法"的探究應當引起我們的深思.

(2)弗蘭登塔爾對皮亞傑認知結構理論方面工作的探究與質疑

"認知結構"理論屬於皮亞傑.弗蘭登塔爾高度評價皮亞傑作為心理學家對兒童所作的觀察,但不滿意皮亞傑在認知結構理論方面的工作.弗蘭登塔爾在許多文章和著作中指出,皮亞傑經常錯誤的引用他自己的實驗結果,因此他的理論也常常是錯的.他的認知結構學說的發展不能看作是對教學法的貢獻.其中他主要反對皮亞傑的關於兒童數的概念發展方面的觀點和作法.弗蘭登塔爾認為皮亞傑事實上並沒有處理任何與兒童數的概念發展有關的實質問題.認知結構理論的基本假設是一種知識的結構是可以被構建的.以自然數為例,皮亞傑試圖發現不同年齡的兒童是如何了解自然數和構建自然數的知識結構的.然而,他所選中的自然數就其知識結構來說是那個時期最高級,最艱深的知識結構之一.支配自然數結構的基礎是基數的理論,具體數的計算在這裡反到是無關緊要的.具有諷刺意味的是,"新數運動"中重申了皮亞傑在兒童認知方面的權威性,主張應當基於康托集合論中等勢的概念在幼稚園進行數的教學.於是那時出現了這樣的情景:老師在黑板上用不同顏色在不同集合的元素之間畫連線,以便解釋什麼是一一對應.但卻不提如何數數和計數的問題.這一點給弗蘭登塔爾留下了非常深的印象.

另外,皮亞傑認為兒童的認知發展是由"貧乏"(poor)的結構到"豐富"(rich)的結構,即由構造簡單的結構到構造複雜的結構.弗蘭登塔爾指出,事實上恰好相反.以幾何為例:M. Klein已經在愛爾蘭根綱領中給出了幾何的層次結構:拓撲的,投影的,仿射的和歐幾里德的.用弗蘭登塔爾的話說這就是一個由"貧乏"到"豐富"的結構.因為任何人都會同意,兒童對幾何的認識是從畫不規則的圓開始的.如果根據皮亞傑的觀點,這個例子就已經足夠證明兒童的幾何知識發展是從拓撲結構開始的.既然兒童差不多都可以在標準的圓和其它不那么標準的圓之間作出區分,是否意味著國小的現代數學課程就應當從拓撲問題開始呢 弗蘭登塔爾對皮亞傑認知結構理論的質疑是有力的.同時對皮亞傑的研究也使弗蘭登塔爾自己更加清楚的意識到,"對數學教育應該採用更為實踐的目光,而不是以過於理論的方式."

懂數學的人大概都會認同弗蘭登塔爾的觀點,因為他的質疑有些象"理髮師悖論",樸素且無可辯駁.認知結構理論對我國數學教育的影響自不待言,了解弗蘭登塔爾的看法,會使我們多幾分冷靜和少一些盲目.

(3)弗蘭登塔爾對"新數學"的抵制

60年代初"新數運動"在世界範圍內處於高潮,弗蘭登塔爾是當時為數不多的反對者之一.之所以如此,主要基於以下兩個原因:一是弗蘭登塔爾認為,新數運動的倡導者當中,有許多人雖然是著名的數學家,但對教育方面的問題知之不多,其中有的人此前未做過任何數學教育方面的研究工作,由這樣的數學家來主導如此重大的數學教育改革運動是不妥的;二是弗蘭登塔爾認為,作為"新數學"出發點的諸如:集合,邏輯,關係等等知識內容過於複雜和抽象,不適宜在學校基礎教育中引入.長期的數學教育研究實踐,使弗蘭登塔爾已經能夠區別適合中小學生水平的數學知識內容中,什麼是"好"的和什麼是"壞"的;什麼是有用的和什麼是無用的;什麼是基本的和什麼是重複的;什麼是經過深思熟慮和什麼是含混不清的.他的觀點是,學習數學需要思考,而思考需要實踐.所以數學課程首先應當讓學生知道他們面對的內容是些什麼,要留給學生可以思考和可以動手的空間.如果內容本身象"天外來客"般的讓人感到無法琢磨,學生就不知道應該怎樣做和怎樣思考,就會感到茫然和無能為力."新數學"之所以給人"學過就忘"的感覺,原因就在這裡.

那時,受"新數運動"影響,荷蘭政府也組建了"數學課程現代化委員會",並開始進行師資培訓,打算在中國小引進"新數學".弗蘭登塔爾對此明確表示反對.他在寫給該委員會主席的信中指出,數學教育現代化與"新數運動"是完全不同的兩回事."…我看不出為什麼要對課程現代化作那么多宣傳,這並不是因為我不喜歡現代數學,而是不喜歡把引進現代數學素材作為第一位的任務,我唯一渴望看到的是數學教育的全面改革…."為了說明作為科學的數學和作為教育的數學的不同功能,弗蘭登塔爾作了客觀和有說服力的分析,他指出:確實,現代數學是功能強大的.因為僅僅一小塊現代數學,就可以解釋和說明科學和現實中許多浩繁複雜的現象,經常是幾個結構簡單的數學公式,就可以給出關係國計民生大計的處理問題模式,而且越是高度抽象的現代數學,其套用領域就越廣泛.但這些只表現了現代數學的一個方面.另一方面,抽象就意味著遠離現實,數學的系統化,抽象化程度越高,數學離現實情景就越遙遠.數學家往往認為,現代數學的力量就體現在它可以脫離產生自己的現實情景而獨立存在這一點上.而學校教育應該如何處理系統化與現實之間的關係呢 學校里到底是應該講授那些作為最終結果的抽象數學結構 還是講授從豐富的現實情景中抽象出這些結構的數學發現過程 "新數運動"主張的是前者,弗蘭登塔爾認為後者才是數學教育的真正目的.因為"……系統化體現了數學的巨大功能,…中學生應當學習數學的這種功能,但我這裡所說的學習是指學習形成這種系統化的數學活動過程,而不是系統化的最後結果.因為系統化的最後結果是一個系統,是一個漂亮的封閉的系統,封閉到沒有入口和出口…….學生所要學習的不是作為一個封閉系統的數學,而是作為一項人類活動的數學,即從現實生活出發的數學化過程.如果需要也可以包括從數學本身出發的數學化過程……."而"新數學"的內容是一些經過精心組織的,條理清晰的數學結構,因為這樣組織起來的內容便於向學生腦子裡嵌入成套的數學結構和邏輯的思考方法.所以對"新數學"來說只能採用"灌輸"式的教學方式,學生的參與也只能是被動的.這是一種類似於把學生訓練成計算機的教育模式,即學生只能被動的執行程式,缺少留給他們自己發揮主動性和創造性的空間.其結果,不僅在計算方面人無法與計算機相比,相反卻極大的抑制了學生主動性和創造性的發展.基於此,弗蘭登塔爾強調指出,數學教育不能從已經是最終結果的那些完美的數學系統開始,不能採用向學生硬性嵌入一些遠離現實生活的抽象數學結構的方式進行.他認為,即使是兒童,也已經具有某種"潛在的發現能力",他們的思維和行為方式已經具備了某些教師甚至研究人員的特徵,讓他們重複人類數學發現的活動是完全可能的.數學教育應當從發展這種潛能出發,從學生熟悉的現實生活開始,沿著人類數學發現的活動軌跡,從生活上的問題到數學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關係到一般規則,逐步讓學生通過自己的發現去學習數學,獲取知識. 使學生頭腦中已有的那些非正規的數學知識和數學思維上升發展為科學的結論,實現數學的"再發現".

弗蘭登塔爾針對"新數運動"提出的觀點,在弗蘭登塔爾第一部重要的數學教育著作《作為教育任務的數學》(1973)中進行了系統的歸納和闡述.

在"新數運動"這樣的重大事件面前,弗蘭登塔爾沒有盲目附合,而是採取一種冷靜和客觀的分析態度,他對"新數運動"的分析和評價,後來一一被實踐所驗證.弗蘭登塔爾的看法以及他個人在數學教育領域的巨大影響力,使荷蘭最終抵制了"新數學",不僅免受"新數運動"的折騰,而且保持了本國數學教育改革的平穩發展.這種情形在當時的歐洲和整個世界是不多見的.

上面幾個片段,在一定程度上反映了弗蘭登塔爾從事數學教育研究的態度.在"新數運動"這樣的重大事件面前,對布盧姆,皮亞傑這樣"大家"的觀點,弗蘭登塔爾不是盲目符合,而是首先持一種分析的態度,投以一種探究的目光.弗蘭登塔爾的觀點也許有可供商榷之處,但他那種孜孜以求,不斷探索的科學精神,是值得我們借鑑和深思的.弗蘭登塔爾之所以能夠成為國際著名的數學教育家,大概可以從這裡找到一些原因吧.

(4)弗蘭登塔爾親手締造了世界著名的弗蘭登塔爾研究所.

弗蘭登塔爾研究所(Freudenthal Inst)的前身是成立於1971年的荷蘭"數學教育發展研究所",簡稱IOWO.1981年,IOWO歸屬於荷蘭烏特勒之大學,作為一個系級研究所與數學系與計算機系一起組成烏特勒之大學數學和信息科學學院,並更名為"數學與計算機教育中心"簡稱OW&OC.1990年弗蘭登塔爾先生逝世後,為紀念這位數學教育研究的先驅者,該研究所從1992年更名為弗蘭登塔爾研究所.簡稱FI.這是一個以數學課程發展研究為主,兼及計算機和其它科學學科課程研究的綜合性數學課程研究所,弗蘭登塔爾先生提出的數學教育思想----現實的數學教育,是該所一切研究工作的理論和實踐基礎.

FI現有專職研究人員近30人,其中包括數學,計算機科學,物理學,心理學和師資培訓,教育學研究方面的專家,另外數學系和計算機系的許多研究人員都兼做FI的研究工作.在荷蘭國內和世界其它國家還有許多專家,學者參與FI的研究項目,以FI為主導,形成了一個很大的數學教育研究網路,荷蘭教育部也與FI有著密切的聯繫.

在荷蘭,FI的工作對荷蘭的中國小數學課程有著舉足輕重的影響.目前80以上的荷蘭中小學生正在使用根據FI的研究成果編寫或直接由FI研究人員編寫的數學課本.

在國際上,FI主持和參與了許多關於數學課程發展的研究項目,目前FI正在與美國,西班牙,阿根廷,奧地利,南非,波利維亞等國合作開展這方面的研究工作,合作範圍包括:數學課程設計,數學教材及其教學參考書的編寫,師資培訓,新教育技術特別是計算機輔助教育技術的開發與推廣,數學教育基本理論,數學教育評價等許多方面.與FI有合作關係的國家已達50多個.我國已經與FI建立了聯繫,但目前尚無具體的合作項目.

數學課程觀

弗蘭登塔爾對數學課程和數學課程發展的看法可以歸結為以下兩個基本方面:

(1)數學在本質上是一項人類活動,通過數學課程讓學生重複人類數學發現的過程是可能的

"數學是一項人類活動"是著名數學家布勞威的名言..弗蘭登塔爾是布勞威爾的學生,並於1930年擔任了布勞威爾的助教.弗蘭登塔爾繼承了布勞威爾的觀點,並把這一觀點引入數學教育領域."數學教育需要發展,應以一種新的觀點來認識作為教育的數學和數學學習.歸根到底,數學是一項人類活動,所以作為教育的數學也要作為一項人類活動來看待."學校中的數學不是那些封閉的系統,而是作為一項人類活動的數學,是從現實生活開始的數學化過程……."學生具有"潛在的發現能力",他們本身的思維和行為方式已經具備了教師甚至研究人員的特徵,在他們身上實現重複人類數學發現的活動是可能的.數學教育應當發展這種潛能,使學生頭腦中已有的那些非正規的數學知識和數學思維上升發展為科學的結論,實現數學的"再發現".根據這樣的觀點,數學教育不能從已經是最終結果的那些完美的數學系統開始,不能採用向學生硬性嵌入一些遠離現實生活的抽象數學結構的方式進行.數學教育應當從學生熟悉的現實生活開始,沿著數學發現的活動軌跡,從生活上的問題到數學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關係到一般規則,逐步通過學生自己的發現去學習數學,獲取知識得到抽象化的數學知識之後,再把它們套用到新的現實問題上去.按照這樣的途徑發展,數學課程就能夠地溝通生活中的數學與課堂上數學的聯繫,有益於學生理解數學,熱愛數學和使數學成為他們生活中有用的本領.數學課程,應當是引導學生重複人類數學發現的過程,實現數學再發現和再創造的過程的課程.

(2)數學課程應當從學生熟悉的現實生活開始和結束.

根據弗蘭登塔爾的觀點,數學課程不能從已經是最終結果的那些完美的數學系統開始,不能採用向學生硬性嵌入一些遠離現實生活的抽象數學結構的方式進行.數學課程應當從學生熟悉的現實生活開始,沿著數學發現過程中人類的活動軌跡,從生活中的問題到數學問題,從具體問題到抽象概念,從特殊關係到一般規則,逐步通過學生自己的發現去學習數學,獲取知識.得到抽象化的數學知識之後,再及時把它們套用到新的現實問題上去.按照這樣的途徑發展,數學教育才能較好地溝通生活中的數學與課堂上數學的聯繫,才能有益於學生理解數學,熱愛數學和使數學成為生活中有用的本領.

弗蘭登塔爾倡導的這種數學課程經過三十年來荷蘭幾代數學教育工作者的探索和實踐,得以不斷豐富,完善和發展,形成了今天的富有特色的荷蘭現實數學課程.

現實數學課程的特徵

弗蘭登塔爾的數學課程觀在實踐中不斷豐富,完善和發展,形成了今天富有特色的荷蘭現實數學課程.現實數學課程有如下五個基本特徵:

a. 運用情景問題;

b. 採用模式;

c. 學生自己得出的結論和創造是課程內容的一部分;

d. 教學過程重在交流;

e. 不同數學內容相互交織在一起.

上述特徵包括了數學教學和學習兩個方面,弗蘭登塔爾的數學課程觀通過這五個方面得以具體體現.其中的兩個核心概念是:情景問題,數學化.情景問題解釋了數學課程如何從學生熟悉的現實生活開始和結束;數學化則具體指出怎么才能使數學課程幫助學生重複人類數學發現的過程.下面分別做些分析:

(1).情景問題

傳統的數學課程內容是作為科學的數學的一部分,它提供的是一些現成的數學結構和結果.按照弗蘭登塔爾的思想,這些內容是不能直接用於課堂的.學生應當通過他們自己的再發現重新構建這些數學結構.所以,數學課程應從現實生活出發.具體到課本上,數學課程應當從與現實生活密切相關的情景問題出發,學生在課堂上通過這些情景問題自己去發現數學概念和解決實際問題.

現實數學教育中的情景問題是指那些與學生熟悉的現實生活有關的問題.情景問題是直觀的和容易引起想像的數學問題.情景問題的特點是,問題的數學背景包含在豐富的現實情景之中,而且與學生已經了解或學習過的數學知識相關聯,特別地,與那些學生已經具有的,但未經訓練和不那么嚴格的數學知識相關聯.如果條件合適,情景問題可以就是現實生活中的真情實景.另外,由於情景問題是學生自己作出發現的土壤,所以任何有利於數學發現的問題都可作為情景問題,其中包括一些抽象的數學系統和傳說中的故事,神話,童話等等,它們雖不具備真情實景,但同樣是學生作出數學發現的源泉,是課堂討論的基礎,學生通過情景問題去發現新的數學概念,通過自己的發現去解決新的情景問題.情景問題是現實數學的出發點,也是學生套用數學的領域.現實世界與數學世界之間,具體與抽象之間的聯繫就是用情景問題建立並溝通的.現實數學課程的教材內容完全是由這樣的情景問題串連而成.可以說,現實數學教育的課本形式就是"情景問題串".

在本章後面"教材實錄"一節,將具體介紹"情景問題"在數學課本中的具體表現.

(2)數學化

數學化是現實數學課程的主題.現實數學課程是關於數學再發現的課程.這裡的"再發現"就是數學化.所以,現實數學教育亦可稱為關於如何實現數學化的教育.數學化是現實數學教育思想體系中最重要的概念.一般說來,數學化是一種由現實問題到數學問題,由具體問題到抽象概念的認識轉化活動,是人類發現活動在數學領域裡的具體體現.現實數學課程中所說的數學化,泛指學習者從一個具體的情景問題開始,到得出一個抽象數學概念的教育全過程,具體說來,現實數學課程所說的數學化可分為先後兩個層次:水平數學化和垂直數學化.

水平數學化是指由現實問題到數學問題的轉化,是把情景問題表述為數學問題的過程.大體包括以下內容:

·確定情景問題中包含的數學成分;

·建立數學成分與已知的數學模型之間的聯繫;

·通過不同方法使這些數學成分形象化和公式化;

·找出蘊含其中的關係和規則;

·考慮相同數學成分在不同情景問題中的表現;

·作出形式化的表述;

水平數學化是發現情景問題中的數學成分,並對這些成分做符號化處理的數學化過程,是從現實生活到數學符號的轉化.通過水平數學化,一個現實問題轉化為數學問題.

垂直數學化是在水平數學化之後進行的數學化,是從具體問題到抽象概念和方法的轉化,是建立數學問題與數學形式系統之間關係的過程.垂直數學化大體上包含以下內容:

·用數學公式表示關係;

·對有關規則作出證明;

·嘗試不同數學模型的建立和使用;

·對得出的數學模型進行調整和加工;

·綜合不同數學模型的共性,形成功能更強的新模型;

·用數學公式和語言精確表述得到的新概念和新方法;

·推廣和一般化.

垂直數學化是在數學的範疇之內對已經符號化了的問題作進一步抽象化處理的數學化過程,是從符號到概念的轉化.

在經過數學化得到一個新的數學概念之後,還需要對已經得到的概念,模型,技巧作進一步的理解和把握,下面這些活動也是數學化的一部分:

·對得出的結果作出解釋和說明;

·對得到的模型和方法的適用範圍進行討論;

·回顧,總結和分析已經完成的數學化過程;

·套用.

在許多情況下,水平數學化和垂直數學化的界限是不那么分明的.