基本介紹
基本解釋,專門解釋,龐加萊對稱,
基本解釋
等距同構是一種事物在事件間的時空軌跡上的移動方式，而這樣做是不會影響原時的。例如，所有事件被延後了兩小時，而這兩小時中包括了兩項事件，以及你從事件一到事件二的路徑，那么你的計時器所量度出的，兩事件間的時間間距會是一樣的。又例如，所有事物被移到西邊五公里外的地方，那么你所量度出的時間間距也不會改變。而這種移動的結果是不會影響棍子長度的。
如果我們無視重力效應的話，那么一共有十種移動方式：在時間上的平移，在三維空間中任一維上的平移，在三條空間軸上任一條的（定角）旋轉，或三維任一方向上的直線性洛倫茲變換，因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。
如果將這種等距同構結合起來（即執行一個之後再執行另一個），那么所得的結果也會是等距同構（然而，這一般來說只限於上述十種基本移動之間的線性組合）。這些等距同構因此形成了一個群。也就是說，它們當中存在單位元（即不移動，停留在原先的地方）及逆元（將事物移動回原先的位置），同時亦遵守結合律。這種特定群的名字叫做“龐加萊群”。
專門解釋
龐加萊群是閔可夫斯基時空的等距同構群。它是一種十維的非緊李群。平移的阿貝爾群是一個正規子群，而洛倫茲群也是一個子群，原點的穩定子群。龐加萊群本身是仿射群的最小子群，而仿射群就包括了所有的變換與洛倫茲變換。準確一點來說，龐加萊群是平移群與洛倫茲群的半直積
另一種解釋方式是，把龐加萊群視為洛倫茲群的群擴張，而擴張的部分則是它的矢量群表示；因此龐加萊群有一個不正式的稱呼，叫“非均勻洛倫茲群”（inhomogeneous Lorentz group）。另外，當德西特半徑趨向無限大時，德西特群（de Sitter group）
的群收縮就是龐加萊群。
它的正能量么正不可約表示是由質量（非負數）與自旋（整數或半整數）所標記的，並與量子力學的粒子有關。
   |
其中P為平移生成元，M為洛倫茲變換生成元，η為閔可夫斯基度規。
以下的是與（均勻）洛倫茲群的交換關係，洛倫茲群由旋轉（
）及直線性洛倫茲變換（
）所組成。在這樣的標記下，可以用非協變形式（但較實用）來表示整個龐加萊代數
其中最下面的是兩個直線性洛倫茲變換的交換關係，很多時候會被稱作“維格納旋轉”。注意根據上述關係，
，這是一項重要的簡化，能使洛倫茲子代數約化至su(2)⊕su(2)，並且使應付洛倫茲群的表示論的方法有效得多。
這種代數的卡西米爾不變數為
與
，其中
為泡利-魯班斯基假矢量；它們的作用是標記群表示。
龐加萊群是任何相對論性量子場的完全對稱群。因此，所有基本粒子都能成為這個群表示的一部分。這些表示一般是由兩種物件所指明的：每一粒子的四維動量平方（即質量平方），和內稟量子數{\displaystyle J^{PC}}，其中J為自旋量子數，P為宇稱，C為電荷共軛量子數。實際上許多量子場會破壞宇稱與電荷共軛。在那些情況下就會棄用被破壞的P和C。由於每一套量子場論均需擁有CPT不變性，因此要從P和C構建時間反轉量子數T是件很容易的事。
作為拓撲空間，這個群共有四個連通區：單位區、時間反轉區、空間顛倒區、以及同時出現時間反轉與空間顛倒的區。
龐加萊對稱
龐加萊對稱是狹義相對論的完全對稱，當中包括：
- 直線性洛倫茲變換，即聯繫兩個均勻移動物體的變換，其生成元為K。
