位置分析(Analysis sit us)西方現代數學著作.法國數學家、數學物理學家、天體力學家龐加萊( Poincare , (J. -) H.)著，它是由6篇文章組成的一個系列。
基本介紹
- 中文名：位置分析
- 外文名：Analysis sit us
第一篇基本論文發表在1895年，接著是在1904年陸續發表在幾種期刊上的5篇文章對前論文的補充.這是龐加萊在組合拓撲方面最重要的工作，其中創立了用剖分研究流形的方法，為組合拓撲學的發展奠定了基礎.直到1933年代數拓撲的發展，都完全基於龐加萊在這些著作中發展的思想和技巧.
“位置分析”這一名稱來自德國數學家萊布尼茨(Leibniz,G. W.).瑞士數學家歐拉(Eider , L.)關於凸多面體的頂點數、棱數和面數的關係公式，以及對哥尼斯堡七橋問題的解決都涉及到了圖形的組合性質，其後默比烏斯(Mobius, A. F.)及貝蒂(Betti,E.)等人對這一領域都做出了貢獻.到19世紀末，組合拓撲中發展得頗為完善的惟一領域是閉曲面理論.最先系統地、一般地探討幾何圖形的組合理論的人是龐加萊，他奠定了組合拓撲學這門學科的基礎.連續性是龐加萊的數學工作的主旋律，每當他遇到分析中的問題時，他幾乎立刻便研究當條件連續地變化時所發生的情形.1901年，他寫道:“我遇到的每一個問題都把我引向位置分析.”他對微分方程定性理論的貢獻基本上是拓撲工作.他對於組合拓撲的貢獻是由下述問題激發出來的:當二、y,z都是複數時，確定代表函式f(二，y}z)=。的四維“曲面”的結構.在1895年的基本論文中，他試圖通過n維圖形的解析表示來建立n維圖形的理論.其後轉向了流形的即黎曼曲面的推廣的純幾何理論.龐加萊最後所採用的方法出現在他的第一個補充文章(1899)中.他研究流形所使用的是彎曲的胞腔或圖形的小塊，人們今天所謂的單純同調的方法完全是龐加萊的創造:流形的三角剖分概念、單純復形概念、重心重分概念、對偶復形、復形的關聯繫數矩陣以及從它對貝蒂數的計算等.藉助於這些工具，龐加萊發現了多面體的歐拉定理的推廣(現稱為歐拉一龐加萊公式)，以及著名的關於流形的同調的對偶定理.在1899年的第一篇補充文章里，龐加萊引進了撓系的概念.在1895年的論文中，他定義了流形的基本群(也稱為龐加萊群或第一同倫群，它在今天的拓撲學中起著相當重要的作用)，並且給出了它與第一貝蒂數的關係.在最後一篇補充文章中，他給出了一個例子:兩個流形有相同的同調，但有不同的基本群.此外，他還給出了一個頗加限制的猜測，即每一個單連通的、閉的、能定向的三維流形同胚於三維球.這個著名的猜測曾經被推廣成:每一個單連通的、閉的n維流形，如果具有n維球的貝蒂數和撓係數，它就同胚於n維球，這些猜測還沒有得到完全證明.另一個著名猜測稱龐加萊的主猜想，即如果T, ,T:是同一個三維流形的單純的(不必是平直的)剖分，則Tz與T,有同構的重分。這一猜想對低於三維的有限的單純復形是成立的，但對於不低於五維的流形錯誤.龐加萊不僅提出並解決了許多重要問題，創造了許多新概念和新方法，而且留下了多個未解決的問題，它們至今仍然有力地影響著這門學科的發展.
