在數學中，等距同構是指在度量空間之間保持距離關係的同構。幾何學中的對應概念是全等變換。
令(N，ρ)、(N1，ρ1)表示兩個度量空間，如果存在一個映射φ：N→N1滿足如下條件：
1)φ為滿射；
2)ρ(x，y)=ρ1(φ(x)，φ(y))(∀x，y∈N)，
則認為空間(N，ρ)和空間(N1，ρ1)是等距同構的。
基本介紹
- 中文名：等距同構
- 外文名：isometry
- 所屬領域：數理科學
- 分類：正交運算元、酉運算元
- 套用範圍：實內積空間和復內積空間
定義,相關性質與定理,
定義
在希臘語中，isos的意思是相等;metron的意思是度量．因此isometry(等距同構)的字面意思就是度量相等．
運算元S∈L(y)稱為等距同構(isometry)，如果對所有v∈V都有
llSvll=lIvll．
也就是說，運算元是等距同構若且唯若它保範數．例如，當λ∈F滿足Iλl=1時，λI是等距同構．更一般地，設入λ1，......,λn都是絕對值為1的標量，(e1,......，en)是V的規範正交基，S∈L(V)滿足S(ej)=λjej．對於v∈V
式1而且
式2把S作用到1式的兩端可得
式3根據Iλjl=1，上面最後的等式表明
式4比較2式和4式可得lIvll=llSvll．也就是說，S是等距同構．
若s∈L(V)是等距同構，則S是單的(因為，若Sv=0,則lIvll=llSvll=0，故v=o)．於是每個等距同構都可逆.
實內積空間上的等距同構通常稱為正交(orthogonal)運算元．復內積空間上的等距同構通常稱為酉(unitary) 運算元．我們將採用等距同構這個術語，因此我們的結果對於實內積空間和復內積空間都可用．
相關性質與定理
定義1 如果度量空間(N2，ρ2)的子空間(N0，ρ0)與另一個度量空間(N1，ρ1)是等距同構的，則認為空間(N1，ρ1)可以嵌入到空間(N2，ρ2)。
定理1 (嵌入定理) 令M為一個d維空間，如果存在光滑的微分同胚φ：M→M和有二階連續導數的y：M→N，有Φ(φ，y)：M→
，其中Φ(φ，y)=(y(x)，y(φ(x))，y(φ2(x)))，…，
)， 則Φ(φ，y)是M到 的一個嵌入。
對於時間序列{xi，i=1，2，…，n)，經過延遲時間τ嵌入到m維相空間中，可以表示為：
式中
是m維相空間中的點。由定理可知，當嵌入維數m大小合適時，原動力系統的吸引子就可以在高維的重構相空間中完全展開，也就是說，此時原系統的相空間將和重構的相空間微分同胚，它們的動力學特性在定性意義上完全相同。因此可以通過對原系統進行相空間重構，通過將現有的數據納入到某種可以描述的框架下，來找出混沌吸引子中隱藏著的演化規律，進而揭示出傳統方法無法展示的運動特徵。
下一個定理提供了等距同構的若干等價條件．這些等價條件有一些重要解釋．特別地，(a)和(b)的等價性表明等距同構保內積．由於(a)蘊含(d)，從而若S是等距同構而(e1,......,en)是V的規範正交基，則S(關於此基)的矩陣的列是規範正交的;又因(e)蘊含(a)，故逆命題也成立．
定理：設S∈L(V)，則下列等價：
(a)S是等距同構；
(b)對所有u，v∈V，都有(Su，Sv)=(u，v)；
(c)S*S=I；
(d)若(e1，…，en)是V中的規範正交向量組，則(Se1，…，Sen)是規範正交的；
(e)V有規範正交基(e1,......，en)使得(Se1，......,Sen)是規範正交的；
(f)S*是等距同構；
g)對所有u，v∈V，都有(S*u，S*v)=(u，v)；
(h)SS*=i；
(i)若(e1，…，en)是V中的規範正交向量組，則(S*e1，…S*en)是規範正交的；
(j)V有規範正交基(e1，…，en)使得(S*e1，…，S*en)是規範正交的．
