正交向量組

正交向量組是一組非零的兩兩正交(即內積為0)的向量構成的向量組。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那么就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說， 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。

基本介紹

• 中文名：正交向量組
• 外文名：orthogonal vector group
• 學科：數理科學
• 類型：數學術語
• 向量：具有大小和方向的量
• 正交：兩個向量的內積是零

向量

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。

向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。[1]如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設定坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

向量組就是多個向量的組合。

正交

在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那么就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說， 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。

對於一般的希爾伯特空間， 也有內積的概念， 所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。 特別的， 我們有n維歐氏空間中的正交概念， 這是最直接的推廣。

和正交有關的數學概念非常多， 比如正交矩陣， 正交補空間，施密特正交化法，最小二乘法等等。

另外在此補充正交函式系的定義：在三角函式系中任何不同的兩個函式的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，則稱這樣的三角函式組成的體系叫正交函式系。

定義

正交向量組是一組非零的兩兩正交(即內積為0)的向量構成的向量組。

求解方法：施密特正交化

高等代數中，歐式空間的一組線性無關的向量張成一個子空間，那么這一組向量就稱為這個子空間的一個基。施密特正交化提供了一種方法，能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基，並可進一步求出對應的標準正交基。從幾何上說，正交基就像一個歐式空間的直角坐標系，比如三維空間的x軸，)軸，:軸，沒有正交化的就是非歐幾何，如用(1,0,0)，X1,1,0)，(1,1,1)也可以作為一組基，但別的向量用這組基表示不方便。其實用正交基的好處在於數值計算上，不用正交基的話計算不穩定，會隨著計算過程逐步積累誤差，可能會使得誤差過大而使計算結果根本不可用，而正交基則不會發生這種問題。

設n維歐式空間，、是空間向量，將施密特正交化的過程如下：

第一步：正交化

第二步：單位化

舉例

設有R^3中的標準單位向量е ₁=（1，0，0），е₂=（0，1，0），е₃=（0，0，1）。則

（е ₁，е₂）=0， （е ₁，е₃）=0，（е₂，е₃）=0.

所以{е ₁，е₂，е₃}是一個正交向量組。