正交系

正交系是互相正交的函式系的簡稱，用於微分方程、積分方程、計算方法等數學領域。

基本介紹

• 中文名：正交系
• 外文名：orthogonal set
• 概念：互相正交的函式系
• 別稱：正交函式系
• 套用：微分方程、積分方程、計算方法等

定義

設 是內積空間H的一些非零元素構成的子集，若M中任何兩個不同元素都正交，則稱M為H中的一個正交系，進一步，若在正交系M中每個元素的範數均為1，則稱M為H的一個標準正交系。

例1 在 中，

是一個標準正交系。

例2 在空間 中，命

由於

因此 是一個標準正交基。

相關定理

已知線上性代數中，對於一組線性無關向量可用格雷姆一休密特(Gram—Schmidt)正交化程式構造出標準正交向量組，在內積空間中則有下述的定理。

定理1

(格雷姆一休密特正交化程式)設H是內積空間， 是H中的線性無關子集，則存在標準正交系 ，使得對每一個自然數n，有：。

定理2

內積空間H中的有限維子空間M是閉子空間。

定理3

設 是希爾伯特空間H中的一個標準正交系，令，如果P是H到M上的正交投影運算元，則對於任意的，有

定理4

設 是希爾伯特空間H的標準正交系， 是實(或復)數點列，那么級數 在H中收斂，若且唯若 。進而還有

定理5

[貝塞爾(Bessel)不等式]設 是希爾伯特空間H中的標準正交系，則對於任意的x∈H和n∈N，有

和

進一步

而且 在H中收斂。

定理6

設 是內積空間H中的一個標準正交系，則 是完備的，當僅當張成的子空間L在H中稠密。

定理7

設H是希爾伯特空間， 是H中的標準正交系，則 是完備的，若且唯若 是完全的。

在一般的希爾伯特空間中，標準正交甚有下述等價刻畫。

定理8

設 為希爾們特空間H中的標準正交系，則下述一些條件等價：

(1)S是H的完全標準正交系；

(2) (此條件滿足時稱S為完備的)；

(3)

(4)對於任意的，

(5)對於任意的 ，巴塞伐爾等式成立，即

(6)對於任意

定理9

設H是希爾伯特空問，則下述兩條等價：

(1)H是可分的；

(2)H有一個至多可數的完全標準正交系。