張量分析（第2版）（北京高等教育精品教材）

《張量分析（第2版）（北京高等教育精品教材）》是2014年8月27日出版的圖書，作者黃克智等。

基本介紹

• 書名：張量分析（第2版）（北京高等教育精品教材）
• 作者：黃克智
• ISBN：9787302064633
• 定價：38元
• 裝幀：平裝
• 印刷日期：2014年8月27日
• 印次：2-9

圖書簡介

本書是一本系統闡述張量分析的專著，又是易於教學的教材。全書共分6章。內容包括：矢量與張量的基本概念與代數運算，二階張量，張量函式及其導數，曲線坐標張量分析，曲面上的張量分析以及張量場函式對參數t的導數。各章附有例題與習題。
本書可作為力學及有關專業本科生、研究生的教材，以及有關專業教師、科研及工程技術人員的參考書。
本書是1986年版《張量分析》的修訂版，反映了十多年來作者教學科研積累的新成果；內容有較多的更新與修改。

目錄

第1章矢量與張量1

1.1矢量及其代數運算公式1

1.1.1矢量1

1.1.2點積2

1.1.3叉積3

1.1.4混合積3

1.2斜角直線坐標系的基矢量與矢量分量5

1.2.1平面內的斜角直線坐標系5

1.2.2三維空間中的斜角直線坐標系7

1.2.2.1斜角直線坐標系7

1.2.2.2協變基矢量8

1.2.2.3逆變基矢量8

1.2.2.4由協變基矢量求逆變基矢量9

1.2.2.5指標升降關係10

1.3曲線坐標系11

1.3.1曲線坐標系11

1.3.2空間點的局部基矢量12

1.3.3正交曲線坐標系與Lamé常數13

1.4坐標轉換14

1.4.1基矢量的轉換關係14

1.4.2協變與逆變轉換係數15

1.4.3矢量分量的坐標轉換關係16

1.4.4度量張量分量的坐標轉換關係16

1.5並矢與並矢式17

1.5.1並矢17

1.5.2縮並19

1.5.3並矢的點積與雙點積19

1.5.4並矢的相等20

1.6張量的基本概念21

1.6.1矢量的分量表示法與實體表示法21

1.6.2張量的定義與兩種表示法23

1.6.2.1張量的分量表示法24

1.6.2.2張量的實體表示法（並矢表示法）25

1.6.3度量張量26

1.7張量的代數運算27

1.7.1張量的相等27

1.7.2張量的相加27

1.7.3標量與張量相乘28

1.7.4張量與張量並乘28

1.7.5張量的縮並28

1.7.6張量的點積29

1.7.7轉置張量30

1.7.8張量的對稱化與反對稱化31

1.7.9張量的商法則32

1.8張量的矢積35

1.8.1置換符號與行列式的展開式35

1.8.2置換張量（Eddington張量）與~δ等式37

1.8.3矢積40

1.8.3.1兩個矢量的矢積40

1.8.3.2三個矢量的混合積41

1.8.3.3三個矢量的三重積42

1.8.3.4張量的矢積42

習題43

第2章二階張量49

2.1二階張量的矩陣49

2.1.1二階張量的四種分量所對應的矩陣49

2.1.2二階張量的轉置，對稱、反對稱張量及其所對應的矩陣50

2.1.3二階張量的行列式51

2.1.4二階張量的代數運算與矩陣的代數運算52

2.2正則與退化的二階張量53

2.2.1關於映射的幾個定理53

2.2.2正則與退化54

2.3二階張量的不變數55

2.3.1張量的標量不變數55

2.3.2二階張量的三個主不變數55

2.3.3二階張量的矩56

2.4二階張量的標準形57

2.4.1實對稱二階張量的標準形57

2.4.1.1基本概念57

2.4.1.2對稱二階張量的特徵方程58

2.4.1.3實對稱二階張量的特徵根必為實根58

2.4.1.4實對稱二階張量主方向的正交性59

2.4.1.5實對稱二階張量所對應的線性變換59

2.4.1.6主分量是當坐標轉換時N的混合分量對元素之駐值59

2.4.1.7對稱二階張量標準形的套用60

2.4.2非對稱二階張量的標準形61

2.4.2.1特徵方程無重根的情況61

2.4.2.2特徵方程有重根的情況63

2.5幾種特殊的二階張量69

2.5.1零二階張量O69

2.5.2度量張量G69

2.5.3二階張量的冪70

2.5.3.1二階張量的正整數次冪70

2.5.3.2二階張量的零次冪70

2.5.3.3二階張量的負整數次冪70

2.5.4正張量、非負張量及其方根、對數70

2.5.5二階張量的值72

2.5.6反對稱二階張量72

2.5.6.1定義72

2.5.6.2反對稱二階張量的主不變數72

2.5.6.3反對稱二階張量的標準形72

2.5.6.4反對稱二階張量的反偶矢量73

2.5.6.5反對稱二階張量Ω所對應的線性變換74

2.5.7正交張量74

2.5.7.1定義74

2.5.7.2正交變換的“保內積”性質75

2.5.7.3正交張量的並矢表達式75

2.5.7.4正交張量的標準形76

2.6二階張量的分解77

2.6.1二階張量的加法分解77

2.6.1.1球形張量與偏斜張量78

2.6.1.2利用偏斜張量求對稱二階張量的主分量與主方向79

2.6.1.3二階張量標量不變數的進一步分析82

2.6.2二階張量的乘法分解（極分解）84

2.7正交相似張量86

習題87

第3章張量函式及其導數91

3.1張量函式、各向同性張量函式的定義和例91

3.1.1什麼是張量函式91

3.1.2張量函式舉例92

3.1.3各向同性張量函式93

3.2矢量的標量函式95

3.3二階張量的標量函式98

3.4二階張量的二階張量函式99

3.4.1二階張量的解析函式99

3.4.2Hamilton\|Cayley等式101

3.4.3同時化為對角型標準形的函式102

3.4.4對稱張量的對稱張量函式105

3.5張量函式導數的定義，鏈規則111

3.5.1有限微分、導數與微分111

3.5.2張量函式導數的鏈規則115

3.5.3兩個張量函式乘積的導數117

3.6矢量的函式之導數117

3.6.1矢量的標量函式117

3.6.2矢量的矢量函式119

3.6.3矢量的二階張量函式120

3.6.4張量函式的梯度、散度和旋度120

3.6.4.1張量函式的梯度120

3.6.4.2張量函式的散度121

3.6.4.3張量函式的旋度121

3.7二階張量的函式之導數122

3.7.1二階張量的標量函式之導數122

3.7.2二階張量的不變數的導數124

3.7.3二階張量的張量函式之導數126

習題128

第4章曲線坐標張量分析132

4.1基矢量的導數，Christoffel符號133

4.1.1協變基矢量的導數及第二類Christoffel符號133

4.1.2第一類Christoffel符號134

4.1.3逆變基矢量的導數136

4.1.4g 對坐標的導數，Γjji的計算公式136

4.1.5坐標轉換時Christoffel符號的轉換公式136

4.2張量場函式對矢徑的導數、梯度137

4.2.1有限微分、導數與微分137

4.2.2梯度139

4.3張量分量對坐標的協變導數140

4.3.1矢量場函式的分量對坐標的協變導數140

4.3.2張量場函式的分量對坐標的協變導數144

4.3.3協變導數的一些性質145

4.4張量場函式的散度與旋度149

4.5積分定理151

4.5.1預備知識151

4.5.2Green變換公式152

4.5.3Stokes變換公式155

4.6Riemann\|Christoffel張量（曲率張量）158

4.6.1Euclidean空間與Riemann空間158

4.6.2Euclidean空間應滿足的條件160

4.6.3證明Rp·rsq是張量分量162

4.6.4Riemann\|Christoffel張量的性質164

4.6.5關於張量分量二階協變導數的Ricci公式，Bianchi恆等式166

4.7張量方程的曲線坐標分量表示方法169

4.8非完整系與物理分量170

4.8.1非完整系170

4.8.2物理分量173

4.8.2.1非完整系基矢量的選擇173

4.8.2.2矢量的物理分量173

4.8.2.3二階張量的物理分量174

4.9正交曲線坐標系中的物理分量175

4.9.1正交標準化基、度量張量與物理分量175

4.9.2基矢量對坐標的導數176

4.9.3正交系中張量表達式的物理分量形式179

習題180

第5章曲面上的張量分析184

5.1曲面的基本知識184

5.1.1曲面的參數方程與Gauss坐標184

5.1.2曲面的基本矢量185

5.1.3曲面的第一基本張量186

5.1.4曲面的第二基本張量188

5.1.5曲面上曲線的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率與Gauss曲率189

5.1.5.1曲面上曲線的曲率、Frenet公式189

5.1.5.2曲面的法截面曲率190

5.1.5.3曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率192

5.1.6曲率線，主坐標，漸近線194

5.1.7旋轉張量197

5.1.8非完整系與物理分量199

5.2曲面上基本矢量的求導公式201

5.2.1法向矢量對坐標的導數（Weingarten公式）201

5.2.2基矢量對坐標的導數（Gauss求導公式），曲面上的Christoffel符號201

5.2.3第一基本張量分量的導數與協變導數202

5.2.4單位矢量的求導公式203

5.3曲面的基本方程，Riemann\|Christoffel張量205

5.3.1Codazzi方程與Gauss方程205

5.3.2Riemann\|Christoffel張量206

5.3.3可展曲面與不可展曲面208

5.3.4Gauss方程的其他形式209

5.3.5以物理分量表達的Codazzi方程與Gauss方程210

5.4曲面上場函式的導數211

5.4.1曲面上的標量場函式211

5.4.2曲面上的矢量場函式212

5.4.2.1曲面上矢量場函式的微分與梯度212

5.4.2.2曲面上矢量場函式的梯度之分量表達式213

5.4.2.3曲面上矢量場函式的散度與旋度215

5.4.3曲面上的切面張量場函式215

5.5等距曲面（平行曲面）217

5.5.1等距曲面的基矢量218

5.5.2等距曲面的第一基本形219

5.5.3參考曲面的第三基本形220

5.5.4等距曲面上面元的面積222

5.5.5等距曲面的第二基本形222

5.5.6主坐標系中等距曲面的幾何參數223

習題224

第6章張量場函式對參數的導數227

6.1質點運動227

6.1.1質點的運動速度227

6.1.2任意矢量對參數的導數229

6.1.3舉例230

6.2Euler坐標與Lagrange坐標232

6.2.1Euler坐標232

6.2.2Lagrange坐標233

6.2.3兩種坐標系的轉換關係235

6.2.4質點速度和物質導數235

6.3基矢量的物質導數237

6.3.1Lagrange基矢量的物質導數237

6.3.2度量張量的物質導數、應變率張量238

6.3.3速度場的加法分解240

6.3.4Euler基矢量的物質導數242

6.4矢量場函式的導數243

6.4.1Lagrange坐標系中矢量場函式的物質導數243

6.4.2Euler坐標系中矢量場函式的物質導數、全導數245

6.4.3坐標轉換關係248

6.4.4矢量場函式的相對導數249

6.4.5各種導數間的關係253

6.5張量場函式的導數253

6.5.1任意階張量函式的物質導數253

6.5.2二階張量場函式及其相對導數258

6.6連續介質變形與運動的初步知識262

6.6.1變形梯度張量，線元、面元與體元的變換263

6.6.2線元、面元與體元的物質導數265

6.6.3應變梯度張量的極分解267

6.6.4Green應變張量267

6.6.5應力張量270

6.6.6應力率271

6.6.7彈性本構關係272

6.6.8舉例273

6.6.9張量場函式在域上積分的導數275

6.6.9.1張量場函式在物質體積域上的質量積分275

6.6.9.2張量場函式在物質體積域上的體積積分277

6.6.9.3張量通過物質開曲面的通量278

6.6.9.4張量沿物質封閉曲線的環量281

6.6.9.5張量場函式在非物質域上積分的導數282

習題284

參考書目286