內自同構

內自同構(inner automorphism)一類特殊的自同構。若g是群G中一個元，則映射給出群G的一個自同構，稱這樣的自同構為群G的內自同構。

基本介紹

• 中文名：內自同構
• 外文名：inner automorphism
• 套用學科：抽象代數
• 屬於：自同構
• 套用領域：群論
• 相關術語：內自同構群

定義

在抽象代數的群論中，內自同構是群的自同構的一種。設g為群G的一個元素，則g對應的內自同構，是以g的共軛作用定義如下

群G的一個自同構，如果是G的元素的共軛作用，便稱為內自同構。

內自同構(inner automorphism)是一類特殊的自同構，若g是群G中一個元，則映射給出群G的一個自同構，稱這樣的自同構為群G的內自同構。

群G的所有內自同構在映射的合成運算下構成一個群，稱為G的內自同構群，常記為Inn (G)。若G為交換群，則Inn(G)={1}。群G的內自同構群是它的自同構群的正規子群，群G的內自同構群同構於商群G/Z(G)，其中Z(G)為G的中心，即Inn (G)-G/Z (G)。群G的不是內自構的自同構稱為外自同構.商群Out (G) =Aut (G) /Inn (G)稱為G的外自同構群.外自同構群的元素一般不是自同構。

性質

（1）若g在G的中心Z(G)內，則是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，的不動點集，正是g的中心化子C_G(g)。

（2）內自同構的逆元是。兩個內自同構的複合是。

（3）由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

（4）若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

（5）若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

（6）設R是半完備環，R的內自同構群為G，若對任意0≠e=e~2∈R,1+e是R中的可逆元，則R在G作用下的不變元是R的中心。

擴展

內自同構群

群G的內自同構組成內自同構群Inn(G)。內自同構群Inn(G)與群G對其中心Z(G)的商群G/Z(G)同構。

內自同構群Inn(G)是G的自同構群Aut(G)中的正規子群，其對應商群記為Out(G)=Aut(G)/Inn(G)，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

正規子群

群G的子群H是G的正規子群，當H在G的任一內自同構的作用下不變。這時G的內自同構限制到H上是H的自同構（未必是H的內自同構），因而有群同態。這個群同態的核是H在G中的中心化子C_G(H)。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子N_G(H)，則H是N_G(H)的正規子群，故有群同態，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

是單射。